슈바르츠-크리스토펠 사상(Schwarz-Christoffel mappings)

슈바르츠-크리스토펠 사상 (Schwarz-Christoffel mappings) 은 이러한 사상을 다음과 같이 구체적으로 표현할 수 있게 해주는 공식.

$f(z)=\int_0^z\frac{(1-z^5)^{\frac{2}{5}}}{(1+z^5)^{\frac{4}{5}}}dz$

우선 $z^{\lambda}$ 형태의 복소함수에 대해서 이해할 필요가 있음
$\lambda > 0$ 인 경우에 대해서 먼저 생각해보자

$z^{\lambda}=e^{\lambda \ln z}= e^{\lambda (\ln |z|+i\arg z)}} =\exp(\ln |z|^{\lambda}+\lambda i \arg z)$
이 함수가 복소상반평면을 어떻게 변화시키는지 알아보기 위해 $\arg z$ 이 브랜치를 하나 고정하자
가 실수라고 하자.
- 이면 $\arg z =0$
- 이면 $\arg z =\pi$
상반평면이 $z^{\lambda}$ 에 의해 각도가 $\lambda \pi$ 인 두 직선으로 쌓인 영역으로 변화
$\lambda < 0$ 인 경우