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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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초기하급수(Hypergeometric series)

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개요
  • 두 연속한 계수의 비가 n 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함
  • 초기하급수의 해석적확장을 통해 얻어진 함수를 초기하함수라 함
  • 수학에서 등장하는 많은 함수들은 초기하급수의 특수한 경우로 표현가능
  • q-analogue 에 대해서는 q-초기하급수(q-hypergeometric series) 항목을 참조

 

 

정의

  • 멱급수의 연속한 계수의 비가 유리함수로 주어지는 경우

    \beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n

    \frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)} 이고 {A(n)},{B(n)}은 n에 관한 다항식인 경우

  • 분자와 분모를 각각 일차식들로 분해하여 다음과 같이 쓸수 있다

    \frac{A(n)}{B(n)}=\frac{c(a_1+n)\dots(a_p+n)}{d(b_1+n)\dots(b_q+n)(1+n)}

    c,d는 각각 A,B의 최고차항의 계수

  • 이 때 멱급수는 다음과 같이 표현된다

    1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1}\frac{cz}{d} + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1} \frac{(a_1+1)\dots(a_p+1)}{(b_1+1)\dots (b_q+1).2}\left(\frac{cz}{d}\right)^2+\dots

  • 변수를 적당히 상수배하면 다음과 같은 급수를 얻는다

    \,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}\frac{z}{1!} + \frac{a_1(a_1+1)\dots a_p(a_p+1)}{b_1(b_1+1)\dots b_q(b_q+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots

  • 여기서  Pochhammer 기호(a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),\,(a)_0 = 1를 사용하면 다음과 같이 좀더 간결한 표현을 얻는다

    \,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}

 

 

오일러-가우스 초기하급수

\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n

 

예

 

 

well-poised

 

 

k-balanced

 

 

Clausen 항등식

\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z)

 

 

란덴변환(Landen's transformation)

F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)

 

메모

 

 

재미있는 사실
  • Clausen 항등식은 비버바흐 추측의 증명에 사용됨

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료
  • http://ko.wikipedia.org/wiki/

 

관련도서 및 추천도서

  • Conformal Mapping

    • Zeev Nehari, Dover Publications, 1982-1

  • 도서내검색

    • http://books.google.com/books?q=
    • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=

  • 도서검색

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관련논문

 

 

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