초기하급수(Hypergeometric series)

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초기하급수(Hypergeometric series)

개요

두 연속한 계수의 비가 에 관한 유리함수인 멱급수를 초기하급수라 함
초기하급수의 해석적확장을 통해 얻어진 함수를 초기하함수라 함
수학에서 등장하는 많은 함수들은 초기하급수의 특수한 경우로 표현가능
q-analogue 에 대해서는 q-초기하급수(q-hypergeometric series) 항목을 참조

정의

멱급수의 연속한 계수의 비가 유리함수로 주어지는 경우

$\beta_0 + \beta_1 z + \beta_2 z^2 + \dots = \sum_n \beta_n z^n$

$\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{A(n)}{B(n)}$ 이고 은 n에 관한 다항식인 경우
분자와 분모를 각각 일차식들로 분해하여 다음과 같이 쓸수 있다

$\frac{A(n)}{B(n)}=\frac{c(a_1+n)\dots(a_p+n)}{d(b_1+n)\dots(b_q+n)(1+n)}$

는 각각 의 최고차항의 계수
이 때 멱급수는 다음과 같이 표현된다

$1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1}\frac{cz}{d} + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q.1} \frac{(a_1+1)\dots(a_p+1)}{(b_1+1)\dots (b_q+1).2}\left(\frac{cz}{d}\right)^2+\dots$
변수를 적당히 상수배하면 다음과 같은 급수를 얻는다

$\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z)=1 + \frac{a_1\dots a_p}{b_1\dots b_q}\frac{z}{1!} + \frac{a_1(a_1+1)\dots a_p(a_p+1)}{b_1(b_1+1)\dots b_q(b_q+1)}\frac{z^2}{2!}+\dots$
여기서 Pochhammer 기호 $(a)_n=a(a+1)(a+2)...(a+n-1),\,(a)_0 = 1$ 를 사용하면 다음과 같이 좀더 간결한 표현을 얻는다

$\,_pF_q(a_1,\ldots,a_p;b_1,\ldots,b_q;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a_1)_n\dots(a_p)_n}{(b_1)_n\dots(b_q)_n} \, \frac {z^n} {n!}$

오일러-가우스 초기하급수

오일러-가우스 초기하함수에서 다룸

$\,_2F_1(a,b;c;z)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_nn!}z^n$

예

지수함수

$e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\dots=\sum_n \beta_n z^n$

$\beta_n = \frac{1}{n!}$

$\frac{\beta_{n+1}}{\beta_n} = \frac{1}{n+1}$
이항급수

$(1-z)^{-a}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{n!}z^n=F(a,1;1;z)$
$\arcsin z=zF(1/2,1/2;3/2;z)$
타원적분

제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)

$K(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;k^2)$

제2종타원적분 E (complete elliptic integral of the second kind)

$E(k) =\frac{\pi}{2}\,_2F_1(\frac{1}{2},-\frac{1}{2};1;k^2)$

well-poised

http://mathworld.wolfram.com/Well-Poised.html

k-balanced

http://mathworld.wolfram.com/k-Balanced.html

Clausen 항등식

$\,_2F_1(a,b,;a+b+\frac{1}{2};z)^2 = \,_3F_2(2a,a+b,2b;a+b+\frac{1}{2},2a+2b;z)$

란덴변환(Landen's transformation)

$F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)$

메모

http://www.famaf.unc.edu.ar/publicaciones/documents/serie_b/BMat48-2.pdf

재미있는 사실

Clausen 항등식은 비버바흐 추측의 증명에 사용됨

수학용어번역

http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/

http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

수학용어번역

대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=kor_term&fstr=초기하
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