피보나치 수열의 여러가지 성질

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피보나치 수열의 여러가지 성질

개요

정의
- $F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$
잘 알려진 성질들
- 황금비와 많이 관련되어 있음.
- $\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots$
- $\lim_{n\to\infty}\frac{F(n+1)}{F(n)}=\varphi$
- $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2=(-1)^{n}$
위의 성질들을 이용하면, 다음과 같은 식들을 얻을 수 있음.

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{F_nF_{n+1}}=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{F_{n}}{F_{n+1}}-\frac{F_{n-1}}{F_{n}}}=\frac{1}{\varphi}=\varphi-1$

$\prod_{n=2}^{\infty}(1+\frac{(-1)^{n}}{F_n^2})=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_n^2+(-1)^n}{F_n^2}=\prod_{n=2}^{\infty}\frac{F_{n-1}}{F_n}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\varphi$

피보나치 수열의 일반항

생성함수를 이용한 방법
피보나치 수열의 생성함수

$s(x)=\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k=s(x)=\frac{x}{1-x-x^2}$

(증명)

$\begin{align} s(x) &= \sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \ &= F_0 + F_1x + \sum_{k=2}^{\infty} \left( F_{k-1} + F_{k-2} \right) x^k \ &= x + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-1} x^k + \sum_{k=2}^{\infty} F_{k-2} x^k \ &= x + x\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k + x^2\sum_{k=0}^{\infty} F_k x^k \ &= x + x s(x) + x^2 s(x) \end{align}$

이제 이 함수를 부분분수로 분해하여 쓰면, 피보나치수열의 일반항을 얻을 수 있다.

$F(n) = {{\varphi^n-(1-\varphi)^n} \over {\sqrt 5}}$

$\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}=1.61803398874989\cdots$

황금비와 피보나치 수열

자연과 피보나치 수열

재미있는 사실

메모

http://www.math.temple.edu/~renault/fibonacci/fib.html