5차방정식과 근의 공식

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5차방정식과 근의 공식

개요

표준적인 증명은 거듭제곱근 체확장(radical extension) 과 가해군(solvable group) 항목을 참조

방정식의 근의 공식

방정식의 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현
2차 방정식의 근의 공식

$x_1=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ , $x_2=\frac{-b+ \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

3차 방정식의 근의 공식

$x_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

$x_2=\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

$x_3=\left( -\tfrac{1}{2}-\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}+\left( -\tfrac{1}{2}+\tfrac{\sqrt{3}}{2}i \right)\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^{2}}{4}+\frac{p^{3}}{27}}}$

거듭제곱근 체확장

체(field)의 기본적인 내용에 대해서는 체론(field theory) 항목을 참조
거듭제곱근 체확장(radical extension) 항목에서 자세히 다룸
방정식의 계수로부터 만들어지는 기본체
적당한 원소 $a_0 \in R_0$ 와 소수 에 대하여, 거듭제곱근 $\sqrt[n_0]a$ 를 추가하여 얻어지는 체확장 $R_1=R_0(\sqrt[n_0]a_0)$
적당한 원소 $a_1\in R_1$ 와 소수 에 대하여, 거듭제곱근 $\sqrt[n_1]a_1$ 를 추가하여 얻어지는 체확장 $R_2=R_1(\sqrt[n_1]a_1)$
이러한 체확장을 유한번 반복하여 얻어지는 의 체확장 을 거듭제곱근 체확장이라 하며, 이 반복의 회수를 체확장의 높이라 하자.

5차방정식의 근의 공식에 대한 아벨의 증명

5차방정식의 근의 공식에 대한 아벨의 증명

5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론

5차방정식의 근의 공식과 갈루아 이론

학부대수학의 표준적인 증명

는 유리수체 위에 정의된 기약다항식
두개의 복소수해와 3세의 실수해를 가짐
갈루아군은 은 가해군이 아니므로, splitting field는 거듭제곱근 체확장이 아니다.

일반적인 n차 방정식

일반적인 방정식

$x^n - s_{1} x^{n-1} + s_{2} x^{n-2} + \cdots + (-1)^{n-1}s_{n-1} x +(-1)^n s_n= 0$

$K=\mathbb{C}(x_1,\cdots,x_n)$

$F=\mathbb{C}(s_1,\cdots,s_n)$

역사

1820년대 아벨에 의해 증명
http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=quintic+equation
수학사연표

관련된 항목들

수학용어번역

단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
발음사전 http://www.forvo.com/search/
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=radical
남·북한수학용어비교
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Abel–Ruffini_theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/radical_extension

링크

http://fermatslasttheorem.blogspot.com/2008/10/abels-impossibility-proof.html

관련논문

Variations on the theme of solvability by radicals
- A. G. Khovanskii, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Volume 259, Number 2 / 2007년 12월
On solvability and unsolvability of equations in explicit form
- A G Khovanskii, Russian Math. Surveys 2004, 59 (4), 661-736
Niels Hendrik Abel and Equations of the Fifth Degree
- Michael I. Rosen, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 6 (Jun. - Jul., 1995), pp. 495-505

관련도서

Abel's Proof
- Peter Pesic, Chapter 6. 'Abel's proof' 85-94p (pdf)
Galois' Theory of Algebraic Equations
- Jean-Pierre Tignol, Chapter 13. Ruffini and Abel on general equations (pdf)
Elliptic functions and elliptic integrals
- Viktor Prasolov, Yuri Solovyev, 6.5 The Abel theorem on the solvability in radicals of the general quinti equation (pdf)