원주율(파이,π)

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원주율(파이,π)

개요

원주율(파이,π)는 원의 둘레와 지름의 비율
모든 원은 서로 닮음이므로, 이 비율은 상수이다

$\pi=3.141592653589793238462643383279502884197169399375\cdots$
수학의 수많은 곳에서 등장한다

아르키메데스의 부등식

223/71 < π < 22/7

비에타의 공식

1593년 François Viète에 의해 발견된 비에타의 공식
원주율의 무한곱 표현

$\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots$

급수표현

1680년경에 발견된 라이프니츠 급수

$1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}$

마친의 공식

1706년 발견된 마친(Machin)의 공식

오일러와 파이

오일러의 공식 e^{iπ}+1=0

$e^{i \pi} +1 = 0$
오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)

$\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}$
더 일반적으로 정수에서의 리만제타함수의 값은 다음과 같이 주어진다

$\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1$ 여기서 $B_{2n}$ 은 베르누이수.

산술기하평균함수와 파이

산술기하평균함수(AGM)와 파이)값의 계산

라마누잔의 공식

라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표

$\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}$
윌리엄 고스퍼는 1985년에 파이값의 천7백만자리를 계산하기 위해 이 공식을 사용
비슷한 형태로 다음과 같은 공식

$\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!$
라마누잔과 파이 항목을 참조

BBP 공식

$\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)$

BBP 공식 항목 참조

complex multiplication과 파이

타원곡선의 complex multiplication 이론과 타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)는 다음과 같은 공식들을 이해할 수 있게 해준다

$\large e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.9999999999992500725\cdots\approx 262537412640768744$

$e^{\pi \sqrt{43}} = 884736743.9997774660349066619374620785\approx 884736744$

$e^{\pi \sqrt{67}} = 147197952743.9999986624542245068292613\approx 147197952744$
숫자 163, 숫자 67 항목과 가우스의 class number one 문제

파이가 아니라 2파이다?

수학의 많은 공식에서는 $\pi$ 가 아닌 $2\pi$ 가 자연스럽게 등장
파이가 아니라 2파이다?

메모

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원주율(파이,π)

관련된 항목들

관련링크와 웹페이지

Bibliography for Computation of Pi

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/원주율
http://en.wikipedia.org/wiki/
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=

관련논문

The Quest for Pi.
- David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein and Simon Plouffe.
- June 25, 1996. Ref: Mathematical Intelligencer, vol. 19, no. 1 (Jan. 1997), pg. 50–57
The Life of Pi: From Archimedes to ENIAC and Beyond (2004).
- Borwein, Jonathan
http://www.jstor.org/stable/3029832

관련도서

수학도깨비에게 원주율 배우기
- 최행진, 교우사, 2009-03-05
파이의 즐거음
- 데이비드 블래트너, 2003
Pi-unleashed
- Jörg Arndt, Christoph Haenel, C. Lischka, D. Lischka, 2000
Pi and the AGM
- Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, 1998

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관련기사

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