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볼록다면체에 대한 데카르트 정리

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볼록다면체에 대한 데카르트 정리

개요

다각형의 외각의 합
다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 $2\pi$

위의 그림에서 a,b,c,d,e가 각 점의 외각의 크기.

이를 다 합하면 $2\pi$ 가 됨.
다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 데카르트 정리라고 부름
다면체의 한 점에서의 결손각(angle defect)의 개념이 다각형의 외각에 대응

결손각(angle defect)과 정다면체

결손각의 정의 : $2\pi$ - (한 점에 모여있는 다각형들의 그 점에서의 각의 합)
다음 표를 통해, 그 예를 볼 수 있음.

다면체	그림	점 V	선 E	면 F	V-E+F	한점에서의 결손각 A	결손각의 총합 V × A
정사면체		4	6	4	4-6+4=2	$2\pi-3\times \frac{\pi}{3}=\pi$	$4\times \pi=4\pi$
정육면체		8	12	6	8-12+6=2	$2\pi-3\times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}$	$8\times \frac{\pi}{2}=4\pi$
정팔면체		6	12	8	6-12+8=2	$2\pi-4\times \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}$	$6\times \frac{2\pi}{3}=4\pi$
정십이면체		20	30	12	20-30+12=2	$2\pi-3\times \frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}$	$20\times \frac{\pi}{5}=4\pi$ $20\times\frac{\pi}{5}=4\pi$
정이십면체		12	30	20	12-30+20=2	$2\pi-5\times \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$	$12\times\frac{\pi}{3}=4\pi$

데카르트의 정리는 다면체의 각 점에서의 결손각의 총합이 $2\pi$ 라는 것.

증명

다면체의 점, 선, 면의 개수를 각각 V,E,F 라고 하자.

각 점에서의 결손각의 총합

$=\sum_{v \text{ : vertex} } 2\pi -(\text{sum of angles meeting at }v)$

$=2\pi V - \sum_{f \text{ : face} } \text{angle sum of } f$

이제, $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=n_k$ 를 다면체에 있는 k-각형의 개수라 하자.

k각형의 내각의 합은 $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=(k-2)%5Cpi$ 이므로, 위의 식은 다음과 같아진다.

$=2\pi V - \sum_{k\ge3 } n_k(k-2)\pi$

$=2\pi V - \pi \sum_{k\ge3 }k n_k +2\pi \sum_{k\ge3 }n_k$

여기서 $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Csum_%7Bk%5Cge3%7Dk%20n_k%20%3D%202E$ 가 성립하는데, 이는 각 변이 두번씩 세어지기 때문이다. 따라서 위의 식은

$=2\pi V - 2\pi E +2\pi F$

$=2\pi (V - E + F)=4\pi$ (오일러의 정리가 사용되었음)■

응용

정십이면체의 점의 개수를 세는 경우의 응용.

375px-Dodecahedron.svg.png

점의 개수를 세지말고, 한 점에 정오각형이 세 개 모여있다는 것을 확인

정오각형의 한 점의 내각의 크기가 ${3\pi}/{5}$

한 점에서의 결손각이 ${\pi}/{5}$ 가 된다는 것을 알수 있음.

데카르트의 정리에 의해 $4\pi$ 를 이 숫자로 나누면 점의 개수 20을 얻게 됨.

비슷한 응용으로 축구공의 수학 항목 참조.

관련된 고교수학 또는 대학수학

관련된 항목들

관련도서

Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology
- David S. Richeson
- 일반적인 독자를 위한 책이나 학부생이 읽어도 좋을듯.
Geometry and the Imagination in Minneapolis
- John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman, Bill Thurston
- This document consists of the collection of handouts for a two-week summer workshop entitled 'Geometry and the Imagination', led by John Conway, Peter Doyle, Jane Gilman and Bill Thurston at the Geometry Center in Minneapolis, June 17-28, 1991. The workshop was based on a course `Geometry and the Imagination' which we had taught twice before at Princeton.
- The angle defect of a polyhedron
- Descartes's Formula.
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관련기사

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