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중복조합의 공식 H(n,r) =C(n+r-1,r)

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개요

  • 중복조합

    • 주어진 집합의 원소 중에서 뽑되 동일한 원소의 중복을 허용하여 뽑아내는 것
    • 1과 2에서 세 개를 취하는 중복조합은 111, 112, 122, 222의 네 가지가 있음.
  • n개 중에서 r개를 선택하는 중복조합의 개수를 _n H_r=\textstyle\left\langle{n\atop r}\right\rangle 로 나타낸다.

 

 

조합과의 비교
  • 조합은 여러 개의 원소 중에서 몇 개를 순서에 관계없이 뽑아내는 것
  • 가령 1,2,3,4 네 개의 수 가운데서 세 개씩 뽑아 모은 조합은 123, 124, 134, 234 의 네 가지
  • n개 중에서 r개를 선택하는 조합의 개수를  로 표현함

  • 즉, 가 됨.

  • 일반적으로 공식을 통해 구할수 있음.

 

 

중복조합의 공식 증명 1

  • 중복조합의 공식

    _n H_r=_{n+r-1}C_{r}

  • 증명의 아이디어를 이해하기 위해, H(4,2)의 예를 들어보자

  • 1,2,3,4 중에서 뽑는 것으로 하면, 중복해서 두 개를 뽑는 방법은 다음과 같이 열 가지가 있음.

    • 11,12,13,14,22,23,24,33,34,44

  • 이제 이 중복조합에서 첫번째 것은 내버려 두고, 두번째 수에 1을 더하면 다음과 같은 결과를 얻음.

    • 12,13,14,15,23,24,25,34,35,45
    • 이것은 1부터 5까지 중에서 2개를 선택하는 방법과 같아짐.
  • 그러므로, H(4,2)=C(5,2)
  • 또다른 예. H(2,3)의 계산.

  • 1,2 중에서 세 가지를 택하는 중복조합은 다음과 같음.

    • 111,112,122,222

  • 위에서 한 것처럼 첫번째 것은 내버려 두고, 두번째 것에 1, 세번째 것에 2를 더해 보면, 다음을 얻게 됨

    • 123,124,134,234
    • 이 경우는 1,2,3,4 중에서 세 개를 뽑는 조합과 일치함.
  • 그러므로, H(2,3)=C(4,3)
  • 특정한 조합과 특정한 중복조합 사이에 일대일대응이 존재하는 것을 보이는 것임.

 

 

중복조합의 공식 증명 2
  • n=4, r=18 인 경우
  • 집합을  \{a,b,c,d\} 로 두자.

  • a가 6개, b가 2개, c가 3개, d가 7개 있는 경우를 아래처럼 나타내자.

    \{a, a, a, a, a, a, b, b, c, c, c, d, d, d, d, d, d, d \}

    \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \bullet \mid \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet \bullet

  • 그림에서 점과 막대를 다 합하여 총 4+18-1=21 개가 있는데, 이 21개의 위치에서 18개를 선택하여 a,b,c,d를 배열하는 중복조합과 일대일대응된다.

 

 

생성함수
  • 생성함수
  • { {}, {x}, {x,x}, {x,x,x}, ... } gives S = 1 + x + x2 + x3 + ... = 1 + xS which is formally S=1/(1-x)
  • (1 − x)−1·(1 − y)−1 = 1 + (x + y) + (x2 + x·y + y2) +(x3 + x2·y + xy2+y3)+...
  • (1 − x)−2 = 1 + (x + x) + (x2 + x·x + x2) + ...

  • n개의 원소에서 k개를 뽑는 중복조합의 생성함수는 다음과 같이 주어진다

    \frac{1}{(1-x)^n}=\sum_{k=0}^{\infty}\textstyle\left\langle{n\atop k}\right\rangle x^k

    =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(n)_k}{k!}x^k=1+nx+\frac{n(n+1)}{2!}x^2+\frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3+\cdots

 

 

부정방정식에의 응용

  • 자연수 r에 대하여, 다음 부정방정식의  x_i \geq 0인 정수해의 개수를 구해보자

    x_0+x_1+x_2+\cdots+x_n=r

  • 해의 개수는 n+1개의 원소를 가지고 r개를 뽑는 중복조합의 수와 같다. 즉, 해의 개수는 다음과 같다

    _{n+1} H_r=_{n+r}C_{r}=_{n+r}C_{n}

  • 프로베니우스 디오판투스 방정식

 

 

역사

 

 

 

메모

\sum_{k}\left\langle \begin{matrix} 3 \\ 4 \end{matrix} \right\rangle x^k

\sum_{k} \textstyle\left\langle{n\atop k}\right\rangle x^k

 

 

 

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