마친(Machin)의 공식

이 항목의 스프링노트 원문주소

• 마친(Machin)의 공식

 

 

개요

• 아크탄젠트 함수를 통한 원주율(파이,π) 표현

  

• 아크탄젠트 함수의 급수표현을 이용하면 파이로 빠르게 수렴하는 간단한 급수를 얻게 됨
• 존 마친(John Machin)에 의해 1706년 발견됨

 

 

배각공식을 통한 증명

를 만족시키는 각도를 생각하자.

탄젠트에 대한 배각공식을 반복적용하면,

이를 통해, 의 값이 에 가까울 것임을 생각할 수 있다.

 

이제 그 오차를 계산하기 위해, 로 두자.

탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다.

이제 아크탄젠트함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

■

 

 

복소수의 곱셈을 통한 증명

 임을 확인하자.

이로부터, 다음을 얻는다.

따라서

. ■

 

 

일반화

• 증명의 아이디어처럼, 배각공식을 활용하여 1에 가깝게 되는 각도를 찾아낼 수 있으면, 유사한 형태의 공식을 얻을 수 있음.

 

 

 

역사

• 1671년 그레고리-라이프니츠 급수

• 1706년 마친, 마친(Machin)의 공식을 활용하여 파이값 100자리까지 계산

• http://books.google.com/books?id=RasOAAAAYAAJ&pg=PA242&sig=HdJs9ZCM_BmIh_PA6cgIpXStTFw&hl=en#v=onepage&q&f=false

• http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=machin+formula
• 수학사연표

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

• 삼각함수

 

 

관련된 항목들

• 파이

  • 파이값의 계산

 

 

사전형태의 참고자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/John_Machin
• http://en.wikipedia.org/wiki/Machin-like_formula
• http://mathworld.wolfram.com/MachinsFormula.html

 

 

관련논문

• Jack S. Calcut, Gaussian Integers and Arctangent Identities for π  http://www.oberlin.edu/faculty/jcalcut/gausspi.pdf

• A Geometric Proof of Machin's Formula

  • Roger B. Nelsen, Mathematics Magazine, Vol. 63, No. 5 (Dec., 1990), pp. 336-337

• Complex Numbers and Machin-Type Formulae for π

  • Nick LordThe Mathematical Gazette, Vol. 73, No. 463 (Mar., 1989), pp. 47-49

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=machin+formula
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/