마친(Machin)의 공식

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개요

 

 

배각공식을 통한 증명

를 만족시키는 각도를 생각하자.

탄젠트에 대한 배각공식을 반복적용하면,

이를 통해, 의 값이 에 가까울 것임을 생각할 수 있다.

 

이제 그 오차를 계산하기 위해, 로 두자.

탄젠트에 대한 덧셈공식을 사용하면, 다음의 결과를 얻을 수 있다.

이제 아크탄젠트함수를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

■

 

 

복소수의 곱셈을 통한 증명

(5+i)^4(-239+i)=-114244-114244 i 임을 확인하자.

이로부터, 다음을 얻는다.

4\arctan(\frac{1}{5})+\pi-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{5}{4}\pi

따라서

4\arctan(\frac{1}{5})-\arctan(\frac{1}{239})=\frac{1}{4}\pi. ■

 

 

일반화

 

 

 

역사

 

 

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사전형태의 참고자료

 

 

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