가우스-보네 정리

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가우스-보네 정리

간단한 소개

곡면의 기하학적 성질과 위상적인 성질을 연결해 주는 정리.
학부 미분기하학의 가장 중요한 정리중 하나임.

국소적 가우스-보네 정리

:곡면상의 영역, : 가우스 곡률, $\alpha_i$ : 꼭지점에서의 angle jump, : 곡선의 측지곡률

$\int_T K dA = 2\pi -\sum \alpha_i -\int_{\partial T}k_g ds$

둘레가 측지선으로 이루어진 다각형 의 경우에는 다음과 같이 단순화시킬 수 있음

$\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v$

대역적 가우스-보네 정리

: 유향 컴팩트 곡면, $\chi(M)$ : 곡면의 오일러 특성수

$\int_M K dA= 2\pi\chi(M)$

대역적 가우스-보네 정리는 국소적인 가우스-보네 정리로부터 증명 가능

(증명)

먼저 곡면을 측지다각형으로 분해하여, 각 다각형 에 대해 국소 가우스-보네 정리를 적용

$\int_T K dA = 2\pi -\sum_{v\text{ : vertex}} \text{external angle at }v$

각 다각형에 대한 결과를 모두 더하면,

$\int_M K dA = 2\pi F-\sum_{F\text{:faces}}\sum_{v \text{:vertex of }F} (\pi - \text{internal angle at }v)$ $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cint%5Cint_T%20K%20dA%20%3D%202%5Cpi%20-%5Csum%20%5Calpha_i%20-%5Cint_%7B%5Cpartial%20T%7Dk_g%20ds$