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오일러-맥클로린 공식

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오일러-맥클로린 공식

개요

수열의 합과 적분을 연결해주는 공식

$\sum _{i=a}^{b-1} f(i)=\int_a^b f(x) \, dx+\frac{1}{2} (f(a)-f(b))+\frac{1}{12} \left(f'(b)-f'(a)\right)+\frac{1}{720} \left(f^{(3)}(a)-f^{(3)}(b)\right)+\frac{f^{(5)}(b)-f^{(5)}(a)}{30240}+\frac{f^{(7)}(a)-f^{(7)}(b)}{1209600}+\cdots$

오차항

$\sum_{i=a}^{b-1} f(i) = \int^b_a f(x)\,dx+\sum_{k=1}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a)\right)+R$

여기서

$\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2(p+1)}}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx$

B_0=1 , $B_1=-{1 \over 2}$ , $B_2={1\over 6}$ , B_3=0 , $B_4=-\frac{1}{30}$ , B_5=0 , $B_6=\frac{1}{42}$ , $B_8=-\frac{1}{30}$ , $B_{10}=\frac{5}{66}$ , $B_{12}=-\frac{691}{2730}$ , $B_{14}=\frac{7}{6}$ 는 베르누이 수

$\frac{B_k}{k!}$ 는 $\{1, -1/2, 1/12, 0, -1/720, 0, 1/30240, 0, -1/1209600, 0, 1/47900160, 0, -691/1307674368000, 0, 1/74724249600\}$

응용1.

거듭제곱의 합을 구하는 공식

응용2.

유용한 표현

$\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R$

단, $f^{(-1)}(x)=\int f(x)\,dx$ 라고 쓰자.

응용

재미있는 사실

오일러의 계산에 중요하게 활용되었다

관련된 고교수학 또는 대학수학

일변수미적분학

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스

사전자료

관련도서

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관련논문

Euler-Maclaurin summation formula (pdf) , E. Hairer (Author), G. Wanner, From Analysis by Its History, 160-169p
Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula ,David J. Pengelley, in: Robert Bradley and Ed Sandifer (Eds), Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002) , Euler Society, 2003.
An Elementary View of Euler's Summation Formula, Tom M. Apostol, The American Mathematical Monthly, Vol. 106, No. 5 (May, 1999), pp. 409-418
The Euler-Maclaurin and Taylor Formulas: Twin, Elementary Derivations , Vito Lampret, Mathematics Magazine, Vol. 74, No. 2 (Apr., 2001), pp. 109-122
An Euler Summation Formula , Irwin Roman, The American Mathematical Monthly, Vol. 43, No. 1 (Jan., 1936), pp. 9-21

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