스털링 공식

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스털링 공식

개요

팩토리얼의 근사식

$n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}$

좀더 정확히는 다음과 같이 주어짐.

$n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n \left( 1 +{1\over12n} +{1\over288n^2} -{139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4} + \cdots \right)$

증명1 : 오일러-맥클로린 공식의 응용

먼저 에 로그를 취하여 덧셈형태로 쓴다

$\ln(n!)= \sum_{k = 0}^{n-1}\ln(1+k)$
이제 오일러-맥클로린 공식을 사용하자.

$\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R$

$\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \int^n_0f(x)\,dx-\frac{1}{2}(f(n)-f(0))+\frac{1}{12}(f'(n)-f'(0))-\frac{1}{720}(f^{(3)}(n)-f^{(3)}(0))+\frac{1}{30240}(f^{(5)}(n)-f^{(5)}(0))-\frac{1}{1209600}(f^{(7)}(n)-f^{(7)}(0))+\cdots$

오차항은 $\left|R\right|\leq\frac{2}{(2\pi)^{2(p+1)}}\int_0^n\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx$ 로 주어짐.

$f(x) = \ln(1+x)$ 에서 유도. 은 0 으로 수렴한다.
$f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x^{k}}$

$\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}\frac{B_k}{k}(\frac{1}{n^{k}}-1)$

$\int f(x)\,dx=(1+x)\ln (1+x)-x$ , $f(x)=\ln (1+x)$ , $f'(x)=\frac{1}{1+x}$ , $f^{(2)}(x)=\frac{-1}{(1+x)^2}$ , $f^{(3)}(x)=\frac{2}{(1+x)^3}$ , $f^{(4)}(x)=\frac{-6}{(1+x)^4}$ , $f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k}\frac{(k-1)!}{x^{k-1}}$

위의 결과를 쓰면

$\ln(n!)= \sum_{k = 0}^{n-1}\ln(1+k)=n\ln n - n-\frac{1}{2}\ln n+\frac{1}{12}(\frac{1}{n}-1)+\cdots$

그러므로,

$n! \approx B\sqrt{n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}$

계수 $\sqrt{2 \pi}$ 는 어떻게 얻을까?
- 월리스 곱을 이용할 수 있다.

$\frac{\pi}{2}=\lim_{n\to\infty}{1\over{2n}}\cdot{{2^{4n}\,(n!)^4}\over{((2n)!)^2}}$

$\sqrt{\frac{\pi}{2}}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{{1\over{2n}}}\cdot{{2^{2n}\,(n!)^2}\over{(2n)!}}=\lim_{n\to\infty}\sqrt{{1\over{2n}}}\cdot{{2^{2n}\,(B\sqrt{n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n})^2}\over{B\sqrt{2n}\, \left(\frac{2n}{e}\right)^{2n}}}=\frac{B}{2}$

$B=\sqrt{2\pi}$

증명2: 안장점 근사의 응용

안장점 근사
일반적으로 N이 클 때, 다음과 같은 근사식이 성립한다

$\int e^{Nf(x)}\,dx\approx \sqrt{\frac{2\pi}{N|f''(x_0)|}}}e^{Nf(x_0)}\textrm{ as }N\to\infty$

최대값 부근에서의 테일러 전개 $f(x)\approx f(x_0)-\frac{1}{2}|f''(x_0)|(x-x_0)^2$ 를 이용
스털링공식에의 적용

$N! = \Gamma(N+1)=\int_0^{\infty} e^{-x} x^N dx$ 에서 x=Nz 로 치환하면,

$N!= \int_0^{\infty} e^{-N z} \left(N z \right)^N N dz=N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz$

$f \left( z \right) = \ln{z}-z$

$f'(z) = \frac{1}{z}-1$

$f''(z) = -\frac{1}{z^2}$

z_0=1 일 때, 최대값을 가지며, $f(z)\approx -1-\frac{1}{2} (z-1)^2+O[z-1]^3$ 가 된다.

따라서

$N! \approx N^{N+1}\int_0^{\infty}e^{-N}e^{-\frac{N(z-1)^2}{2}} dz \approx N^{N+1}\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}=\sqrt{2\pi N} N^N e^{-N}$

N=100일 때,

$\sqrt{\frac{2\pi}{N}} e^{-N}\approx 9.33262\times 10^{-45}$

$\int_0^{\infty}e^{N(\ln z-z)} dz\approx 9.32485\times 10^{-45}$

$e^{N(\ln z-z)}$ 의 그래프

재미있는 사실

드무아브르가 스털링에 앞서서 팩토리얼의 근사식을 유도함.
다만 $\sqrt{2\pi}$ 이라는 상수를 구하지 않고 적당한 상수 에 대하여 다음과 수준의 표현을 남김.

$n! \approx B\sqrt{n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}$
나중에 $B=\sqrt{2\pi}$ 는 스털링이 해결함.

In Miscellanea Analytica (1730) appears Stirling’s formula (wrongly attributed to Stirling) which de Moivre used in 1733 to derive the normal curve as an approximation to the binomial. In the second edition of the book in 1738 de Moivre gives credit to Stirling for an improvement to the formula. De Moivre wrote:-

I desisted in proceeding farther till my worthy and learned friend Mr James Stirling, who had applied after me to that inquiry, [discovered that c = √(2 π)]. (http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/De_Moivre.html)

오늘날 팩토리얼의 근사식은 선구적인 업적을 남긴 드무아브르의 이름은 온데간데 없이 스털링의 공식이라고 불리게 됨.
드무아브르는 조금 섭섭하지 않을런지?
팩토리얼은 정의는 간단할지라도 n이 조금만 커지기 시작하면 계산하기가 그리 만만치 않음. 실용적인 측면에서도 유용한 근사식.

사전형태의 자료

블로그

Removing the magic from Stirling’s formula
- Gowers’s Weblog, 2008-2-1