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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

베르누이 수

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}

  • 처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다.

B_0=1B_1=-{1 \over 2}B_2={1\over 6}B_3=0B_4=-\frac{1}{30}B_5=0B_6=\frac{1}{42}B_8=-\frac{1}{30}B_{10}=\frac{5}{66}B_{12}=-\frac{691}{2730},B_{14}=\frac{7}{6}

 

{1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, 0, -691/2730, 0, 7/6, 0, -3617/510, 0, 43867/798, 0, -174611/330}

 

 

베르누이 수의 성질
  • B_m=\frac{N_m}{D_m} (여기서 N_m, D_m은 서로소) 으로 쓰면 D_m은 p-1|m 을 만족하는 모든 소수 p의 곱으로 주어짐

    • D_4=30 = 2 \times 3 \times 5
    • D_{10}= 66 = 2 \times 3 \times 11
    • D_{12}= 2730 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13

 

 

삼각함수의 급수 표현
  • 사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
  • 그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.

\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}

\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}

 

쌍곡함수의 급수표현

\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}

\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi

 

 

로바체프스키함수

 

digamma함수

 

 

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사전 형태의 자료
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Last edited on 04/06/2010 00:43 by 피타고라스

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