베르누이 수

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베르누이 수

개요

베르누이 수는 수학의 많은 곳에서 마주치게 되는, 중요한 수열
베르누이 수의 생성함수는 다음과 같이 주어진다.

$\frac{t}{e^t-1}= \sum_{n=0}^\infty B_n\frac{t^n}{n!}$

처음 몇 베르누이 수는 다음과 같다.

B_0=1 , $B_1=-{1 \over 2}$ , $B_2={1\over 6}$ , B_3=0 , $B_4=-\frac{1}{30}$ , B_5=0 , $B_6=\frac{1}{42}$ , $B_8=-\frac{1}{30}$ , $B_{10}=\frac{5}{66}$ , $B_{12}=-\frac{691}{2730}$ , $B_{14}=\frac{7}{6}$

{1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, 0, -691/2730, 0, 7/6, 0, -3617/510, 0, 43867/798, 0, -174611/330}

베르누이 수의 성질

$B_m=\frac{N_m}{D_m}$ (여기서 은 서로소) 으로 쓰면 은 을 만족하는 모든 소수 의 곱으로 주어짐
- $D_4=30 = 2 \times 3 \times 5$
- $D_{10}= 66 = 2 \times 3 \times 11$
- $D_{12}= 2730 = 2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 13$

삼각함수의 급수 표현

사인함수와 코사인함수의 급수표현은 미적분학 강의를 통해서도 잘 배우지만, 탄젠트는 거의 언급되지 않음.
그 이유는, 표현에 베르누이수가 필요하기 때문.

$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$

$\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$

쌍곡함수의 급수표현

$\tanh x = x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \left |x \right | < \frac {\pi} {2}$

$\coth x = \frac {1} {x} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \frac {1} {x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, 0 < \left |x \right | < \pi$

로바체프스키함수

로바체프스키와 클라우센 함수

$\Lambda(\theta)=\theta-\theta \log(2\theta)+2\theta\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|B_{2n}|}{2n}\frac{(2\theta)^{2n}}{(2n+1)!}$

digamma함수

digamma 함수

$\psi(x) = \log(x) - \frac{1}{2x} - \sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(x^{2n})}$

사전 형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/

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http://www.wolframalpha.com/input/?i=
NIST Digital Library of Mathematical Functions

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삼각함수의 급수 표현

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