란덴변환(Landen's transformation)

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버전1

제1종타원적분 K (complete elliptic integral of the first kind)

$K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}$

다음 변환 공식을 타원적분에 대한 란덴 변환이라 함.

$K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)$

버전2

타원적분

$I = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta$

다음 변환에 의하여, 그 값이 변하지 않는다.

$(a,b) \mapsto (\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab})$

버전3

hypergeometric 급수와 타원 적분

$F(a,b,c;x)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(a)_k (b)_k}{(c)_k k!}x^k$ 로 정의하면, $K(\sqrt{x})=\frac{\pi}{2}F(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1;x)$
이 경우, 란덴변환은 다음과 같이 표현됨.

$F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;\frac{4x}{(1+x)^2})=(1+x)F(\frac{1}{2},\frac{1}{2};1;x^2)$
초기하급수(Hypergeometric series) 항목 참조

란덴변환과 AGM

란덴변환을 통해, 타원적분과 AGM의 다음과 같은 관계가 유도 가능

$K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}$

(증명)

란덴변환을 무한히 반복하면,

$I = \int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\operatorname{AGM}(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,\operatorname{AGM}(a,b)}$

b^2 = a^2 (1 - k^2) 로 두면,

$I = \frac{1}{a} \int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \frac{1}{a} F\left( \frac{\pi}{2},k\right) = \frac{1}{a} K(k)$

$a=1, b=\sqrt{1-k^2}$ 이면
$K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}$

표준적인 도서 및 추천도서

Pi and the AGM
- Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein
http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=

사전 참고자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Landen%27s_transformation

참고할만한 자료

Gauss, Landen, Ramanujan, the Arithmetic-Geometric Mean, Ellipses, π, and the Ladies Diary
- Gert Almkvist and Bruce Berndt
- The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 7 (Aug. - Sep., 1988), pp. 585-608
A simple example of a new class of Landen transformations
- D Manna, VH Moll
- Amer. Math. Monthly 114 (2007), 232–241
Landen survey
- Dante V. Manna and Victor H. Moll
- 287-319p from Probability, Geometry and Integrable Systems For Henry McKean's Seventy-Fifth Birthday Edited by Mark Pinsky and Björn Birnir
http://www.msri.org/communications/books/Book55/files/13landen.pdf

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Last edited on 02/23/2012 15:15 by 피타고라스

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