란덴변환(Landen's transformation)

버전1

K(\frac{2\sqrt{x}}{1+x})=(1+x)K(x)

 

 

버전2

I = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d \theta

(a,b) \mapsto (\frac{a+b}{2}, \sqrt {ab})

 

버전3

 

 

란덴변환과 AGM

란덴변환을 통해, 타원적분과 AGM의 다음과 같은 관계가 유도 가능

K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}

(증명)

란덴변환을 무한히 반복하면,

I = \int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{a^2 \cos^2(\theta) + b^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \int _0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\operatorname{AGM}(a,b)} \, d\theta = \frac{\pi}{2 \,\operatorname{AGM}(a,b)}

b^2 = a^2 (1 - k^2) 로 두면,

I = \frac{1}{a} \int _0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2(\theta)}} \, d\theta = \frac{1}{a} F\left( \frac{\pi}{2},k\right) = \frac{1}{a} K(k)

a=1, b=\sqrt{1-k^2} 이면
K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}

 

 

관련된 다른 주제들

 

 

표준적인 도서 및 추천도서

 

사전 참고자료

 

 

참고할만한 자료