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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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정오각형

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이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 변이 다섯개이며 길이가 모두 같은 다각형
  • 정오각형의 대각선의 길이와 황금비의 관계
  • 정다면체 중 하나인 정십이면체는 정오각형으로 만들어져 있다.

 

 

정오각형의 대각선과 황금비
  • '황금비' 항목을 먼저 참조
  • 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비율은 황금비가 된다.

 pentagon(1).png

{b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}

 

(증명)

삼각형 ABD에서 선분 AC는 각 A의 이등분선이다. (각 DAC와 각 CAB가 같은 길이를 갖는 두 현 DC의 BC의 원주각이기 때문)

AC와 BD의 교점을 E라 하자.

각의 이등분선의 성질에 의해, 

AB : AD = BE : DE 즉 a : b = b-a : a 가 성립한다.

b^2 - ab - a^2 = 0

b^2 - ab - a^2 = 0 ■

 

 

황금삼각형

 

317px-Golden_triangle_in_pentagon.svg.png

 

  • 삼각형 변의 길이 비율은 황금비가 됨.

 

 

정오각형 꼭지점의 평면좌표
  • 정오각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
  • 방정식 z^4+z^3+z^2+z^1+1=0은 다음과 같은 순서로 풀수 있음.
  • 양변을 z^2으로 나누면, z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=0 을 얻게됨.

y=z+\frac{1}{z} 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.

z^2+z+1+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^2}=(z+\frac{1}{z})^2+(z+\frac{1}{z})-1=y^2+y-1=0

방정식을 풀면,

y^2+y-1=0

y=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}

z^2-yz+1=0

z=\frac{y+\sqrt{y^2-4}}{2}

 

을 얻게 됨. 

따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능.

  • 복소평면상에서 z 의 x 좌표는 \frac{-1+\sqrt{5}}{4} , \frac{-1-\sqrt{5}}{4} 로 주어짐.

 

 

정오각형의 작도

 

 

정오각형과 정다면체
  • 정십이면체의 면은 정오각형으로 구성
  • 정다면체

 

 

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Last edited on 12/23/2010 11:17 by 피타고라스

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