드 무아브르의 정리, 복소수와 정다각형

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드 무아브르의 정리, 복소수와 정다각형

개요

(정리) 드 무아브르

$(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta$

여기서 $\theta$ 는 임의의 실수, 은 임의의 정수

증명

수학적 귀납법

오일러의 정리를 통한 증명

오일러의 공식
복소지수함수 $e^{i\theta}=\cos \theta+ i\sin \theta$ 의 성질에서 자연스럽게 유도

$(\cos \theta+ i\sin \theta)^n=(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}= \cos n\theta+ i\sin n\theta$

정다각형과의 관계

를 만족시키는 복소수 방정식을 풀면, n개의 해는 복소평면에서 정n각형의 꼭지점이 된다.

방정식을 풀기 위해, $z=\cos \theta + i \sin \theta$ 로 두고 드 무아브르 정리를 적용하자.

$(\cos \theta + i \sin \theta)^n=\cos n\theta + i \sin n\theta=1$

$\theta=\frac{2k\pi}{n}, k=0,1,\cdots,n-1$
의 해는, $1,\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}$ 세 개가 있다. 이를 복소평면에 점으로 나타내면, 다음과 같이 정삼각형의 꼭지점을 이룬다.

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