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로저스-라마누잔 항등식

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로저스-라마누잔 연분수와 항등식

개요

모듈라 성질을 갖는 q-초기하급수(q-hypergeometric series) 의 중요한 예

로저스-라마누잔 항등식

$G(q) = \sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty} =1+ q +q^2 +q^3 +2q^4+2q^5 +3q^6+\cdots$

$H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots$

Pochhammer 기호 참조

$(a;q)_n = \prod_{k=0}^{n-1} (1-aq^k)=(1-a)(1-aq)(1-aq^2)\cdots(1-aq^{n-1})$

q-초기하급수(q-hypergeometric series) 의 틀에서 이해할 수 있다

세타함수 표현과 모듈라 성질

세타함수를 통한 표현
$G(q)=\frac{1}{(q)_{\infty}}\sum_{n\in \mathbb{Z}}(-1)^n q^{(5n^2+n)/2}$

$H(q)=\frac{1}{(q)_{\infty}}\sum_{n\in \mathbb{Z}}(-1)^n q^{(5n^2+3n)/2}$
로저스-라마누잔 함수는 약간의 수정을 통해 modularity를 가짐

$q^{-1/60}G(q) = q^{-1/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} = \frac {q^{-1/60}}{(q;q^5)_\infty (q^4; q^5)_\infty}$

$q^{11/60}H(q) =q^{11/60}\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = q^{11/60}\frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty}$
데데킨트 에타함수가 갖는 modularity와의 유사성

$\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})$

cusp에서의 변화

$q=e^{-t}$ 으로 두면 $t\sim 0$ 일 때,

$H(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})+o(1)$

$G(q)=\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})+o(1)$
[McIntosh1995] 참조
이로부터 다음을 알 수 있다

$t\to 0$ 일 때, $q=e^{-t}\to 1$ 으로 두면

$\frac{H(1)}{G(1)} = \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}}=\varphi-1=0.618\cdots$

로저스-라마누잔 연분수

두 함수의 비는 아래와 같은 연분수 표현을 가진다

$\frac{H(q)}{G(q)} = \cfrac{1}{1+\cfrac{q}{1+\cfrac{q^2}{1+\cfrac{q^3}{1+\cdots}}}}$
로저스-라마누잔 연분수 항목에서 다루기로 함

재미있는 사실

이 항등식은 통계물리의 Lee-Yang 모델과 밀접하게 관련되어 있음
http://mathoverflow.net/questions/29117/what-is-the-relationship-between-modular-forms-and-the-rogers-ramanujan-identitie

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxNmQ3NGMzZWMtZTg4OC00NjBlLTljNmUtOGExYjkyYjA3NDkx&sort=name&layout=list&num=50
http://www.wolframalpha.com/input/?i=
http://functions.wolfram.com/
NIST Digital Library of Mathematical Functions
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
- A003114 Number of partitions of n into parts 5k+1 or 5k+4
- A003106 Number of partitions of n into parts 5k+2 or 5k+3.

Numbers, constants and computation

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