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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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라마누잔과 파이

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이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

  • 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표 [RAM1914]

    \frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}

  • Chudnovsky 형제  [CHU88]

\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!

 

 

정의와 미리 알아야 할 것들

\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}

k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}

K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}

K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}

k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}

K'(k) = K(k')

E'(k) = E(k')

  • 위의 함수들을 이용하여, 양수 r에 대하여 다음을 정의

\lambda^{*}(r):=k(i\sqrt{r})

\alpha(r):=\frac{E'}{K}-\frac{\pi}{4K^2}

 

 

singular value function 

  • 타원적분이 만족시키는 르장드르 항등식

     E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2} (AGM과 파이값의 계산)

  • 타원적분의 성질 

    K'(\lambda^{*}(r))=\sqrt{r}K(\lambda^{*}(r))

  • 위의 둘을 사용하여 다음을 얻는다

    \alpha(r)=\frac{\pi}{4K^2}-\sqrt{r}(\frac{E}{K}-1)

  • 여기에 타원적분이 만족시키는 미분방정식

    \frac{dK}{dk}=\frac{E-k'^2K}{kk'^2}

    을 사용하면

    \alpha(r)=\frac{1}{\pi}(\frac{\pi}{2K})^2-\sqrt{r}(kk'^2\frac{\.K}{K}-k^2)

    를 얻게 되고, 이를 다시 쓰면

    \frac{1}{\pi}=\sqrt{N}k_Nk'_N^2\frac{4K\.K}{\pi^2}+[\alpha(N)-\sqrt{N}k^2_N]\frac{4K^2}{\pi^2}

 

  • [\frac{2}{\pi}K(k)]^2 =m(k)F(y(k)) 꼴로 쓰여질때, 양변을 미분하면 다음을 얻는다

    \frac{4K\.K}{\pi^2}=\frac{1}{2}\.mF+\frac{1}{2}m\.y\.F(y)

  • 초기하급수를 다음과 같이 쓰면

    F(y)=\sum_{n=0}^{\infty}a_ny^n

  • \frac{1}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty a_n[\frac{\sqrt{N}}{2}k{k'}^2\.m+[\alpha(N)-\sqrt{N}k^2_N]m+\frac{n\sqrt{N}}{2}m\frac{\.y}{y}kk'^2]y^n

 

 

라마누잔 파이 공식의 유도
  • 아래의 prop, thm 번호는 [BB1998] 참조
  • 초기하급수(Hypergeometric series) 항목의 Clausen 항등식이 중요하게 사용됨

  • prop 5.6

    \frac{2}{\pi}K_s(h) = \,_2F_1(\frac{1}{4}-\frac{s}{2},\frac{1}{4}+\frac{s}{2};1;(2hh')^2)

    [\frac{2}{\pi}K_s(h)]^2 = \,_2F_1(\frac{1}{2}-s,\frac{1}{2}+s,\frac{1}{2};1,1;(2hh')^2)

  • prop 5.7

    K_{1/4}(h)=(1+k^2)^{1/2}K(k) if 2hh'=[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}]^{-1}

  • Thm 5.6

    \frac{2}{\pi}K(k) =(1+k^2)^{-1/2} \,_2F_1(\frac{1}{8},\frac{3}{8};1;[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}}]^{-2})

  • Thm 5.7

    [\frac{2}{\pi}K(k)]^2 =(1+k^2)^{-1} \,_3F_2(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{2};1,1;[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}}]^{-2})

  • (5.5.16)

    \frac{1}{\pi}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{4})_n(\frac{1}{2})_n(\frac{3}{4})_n}{(n!)^3}d_n(N)x_N^{2n+1}

    x_N=(\frac{g_N^{12}+g_N^{-12}}{2})^{-1}

    d_n(N)=[\frac{\alpha(N)x_N^{-1}}{1+k_N^2}-\frac{\sqrt{N}}{4}g_N^{-12}]+n\sqrt N(\frac{g_N^{12}-g_N^{-12}}{2})

 

  • N=58 일 때

    x_{58}=\frac{1}{99^2}=\frac{1}{9801}, d_n(58)=(1103+26390n)2\sqrt 2 이므로 다음을 얻는다

    \frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}

     

 

 

라마누잔의 class invariants

 

 

재미있는 사실
  • e^{\sqrt{58}\pi}=24591257751.999999822\cdots
  •  \frac{6}{5}{\phi}^2\approx{\pi}

 

 

역사

  • Around 1910, the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan discovered the formula

\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}

  • William Gosper used this series in 1985 to compute the first 17 million digits of \pi.

  • 수학사연표

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

관련도서

  • [BB1998]Pi and the AGM

    • Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, Wiley-Interscience (July 13, 1998)

  • 도서내검색

    • http://books.google.com/books?q=
    • http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=

  • 도서검색

    • http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
    • http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=

 

 

사전 형태의 자료
  • http://ko.wikipedia.org/wiki/

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

관련논문

 

 

관련기사

 

 

블로그
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라마누잔

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Last edited on 12/09/2011 14:07 by 피타고라스

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Comments (1)

  • Mathematik

    에타는 무슨뜻인가요?그리고 음수의 제곱근을 취해야 한다는 소리가 나오는데 불가능하지 않나요?

    12/22/2010 21:29
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