라마누잔과 파이

라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표 [RAM1914]

$\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}$
Chudnovsky 형제 [CHU88]

$\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!$

$\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}$

$k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}$

$K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}}$

$k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}$

K'(k) = K(k')

E'(k) = E(k')

$\lambda^{*}(r):=k(i\sqrt{r})$

$\alpha(r):=\frac{E'}{K}-\frac{\pi}{4K^2}$

라마누잔의 class invariants

$g_n:=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}$

타원적분이 만족시키는 르장드르 항등식

$E(k)K'(k)+E'(k)K(k)-K(k)K'(k)=\frac{\pi}{2}$ (AGM과 파이값의 계산)
타원적분의 성질

$K'(\lambda^{*}(r))=\sqrt{r}K(\lambda^{*}(r))$
위의 둘을 사용하여 다음을 얻는다

$\alpha(r)=\frac{\pi}{4K^2}-\sqrt{r}(\frac{E}{K}-1)$
여기에 타원적분이 만족시키는 미분방정식

$\frac{dK}{dk}=\frac{E-k'^2K}{kk'^2}$

을 사용하면

$\alpha(r)=\frac{1}{\pi}(\frac{\pi}{2K})^2-\sqrt{r}(kk'^2\frac{\.K}{K}-k^2)$

를 얻게 되고, 이를 다시 쓰면

$\frac{1}{\pi}=\sqrt{N}k_Nk'_N^2\frac{4K\.K}{\pi^2}+[\alpha(N)-\sqrt{N}k^2_N]\frac{4K^2}{\pi^2}$

$[\frac{2}{\pi}K(k)]^2 =m(k)F(y(k))$ 꼴로 쓰여질때, 양변을 미분하면 다음을 얻는다

$\frac{4K\.K}{\pi^2}=\frac{1}{2}\.mF+\frac{1}{2}m\.y\.F(y)$
초기하급수를 다음과 같이 쓰면

$F(y)=\sum_{n=0}^{\infty}a_ny^n$
$\frac{1}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty a_n[\frac{\sqrt{N}}{2}k{k'}^2\.m+[\alpha(N)-\sqrt{N}k^2_N]m+\frac{n\sqrt{N}}{2}m\frac{\.y}{y}kk'^2]y^n$

아래의 prop, thm 번호는 [BB1998] 참조
초기하급수(Hypergeometric series) 항목의 Clausen 항등식이 중요하게 사용됨
prop 5.6

$\frac{2}{\pi}K_s(h) = \,_2F_1(\frac{1}{4}-\frac{s}{2},\frac{1}{4}+\frac{s}{2};1;(2hh')^2)$

$[\frac{2}{\pi}K_s(h)]^2 = \,_2F_1(\frac{1}{2}-s,\frac{1}{2}+s,\frac{1}{2};1,1;(2hh')^2)$
prop 5.7

$K_{1/4}(h)=(1+k^2)^{1/2}K(k)$ if $2hh'=[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}]^{-1}$
Thm 5.6

$\frac{2}{\pi}K(k) =(1+k^2)^{-1/2} \,_2F_1(\frac{1}{8},\frac{3}{8};1;[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}}]^{-2})$
Thm 5.7

$[\frac{2}{\pi}K(k)]^2 =(1+k^2)^{-1} \,_3F_2(\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{1}{2};1,1;[\frac{g^{12}+g^{-12}}{2}}]^{-2})$
(5.5.16)

$\frac{1}{\pi}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{1}{4})_n(\frac{1}{2})_n(\frac{3}{4})_n}{(n!)^3}d_n(N)x_N^{2n+1}$

$x_N=(\frac{g_N^{12}+g_N^{-12}}{2})^{-1}$

$d_n(N)=[\frac{\alpha(N)x_N^{-1}}{1+k_N^2}-\frac{\sqrt{N}}{4}g_N^{-12}]+n\sqrt N(\frac{g_N^{12}-g_N^{-12}}{2})$

일 때

$x_{58}=\frac{1}{99^2}=\frac{1}{9801}$ , $d_n(58)=(1103+26390n)2\sqrt 2$ 이므로 다음을 얻는다

$\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}$