컴팩트 리만곡면의 자기동형군에 대한 Hurwitz 정리

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개요

Hurwitz의 정리

 

 

증명의 아웃라인은 다음과 같다. (Riemann Surfaces, By Hershel M. Farkas, Irwin Kra Chapter V) 이 아웃라인에 대한 증명은 Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint By Gareth A. Jones, David Singerman 에 잘 나와있다.

간략하게 답을 적자면,

(1) by the Uniformization theorem
(2) essentially by the monodromy theorem
(3) the image of a compact set under a continuous map is compact.
(4),(5) (fundamental domain for a subgroup) = union of several copies (same as index) of (fundamental domain for the original group)

이렇게 하고 보니, 학부생들에게 가르치기는 다소 무리가 있어 보이기도 한다. 우리가 공산당도 아니고… -_-

(2)와 (5)를 보면, 문제는

,

을 구하는 것으로 귀결된다.

이것은 Gauss-Bonnet theorem

때문에 그러하다.

이제

을 보이는 일이 남았다.

이 부등식의 증명은 fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리를 참조

 

이렇게 해서 Hurwitz’s theorem 대략 증명끝.

 

 

후르비츠 군

모든 후르비츠 군은 리만 곡면의 자기동형군으로 나타난다.

푸앵카레 상반평면의 2-3-7 타일링을 생각하자.

후르비츠 군은 a^2=b^3=c^7=abc=1 로 생성되는 군의 적당한 subgroup X의 quotient 군으로 나타나므로, 상반평면/X 는 이 후르비츠 군을 자기동형군으로 가진다.

 

 

 

관련된 항목들

• fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리
• 가우스-보네 정리
• 비유클리드 기하학
• 클라인의 4차곡선

 

관련도서 및 추천도서

• Riemann Surfaces

  • Hershel M. Farkas, Irwin Kra
  • Chapter V

• Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint

  • Gareth A. Jones, David Singerman

• 도서내검색

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참고할만한 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/
• http://en.wikipedia.org/wiki/
• http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
• http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
• 다음백과사전 http://enc.daum.net/dic100/search.do?q=

 

 

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