라마누잔의 class invariants

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라마누잔의 class invariants

개요

라마누잔이 많은 계산 결과를 남겨놓은 분야
class field theory에서 중요한 역할을 함

$G_n:=2^{-1/4}\mathfrak{f}(\sqrt{-n})$

$g_n:=2^{-1/4}\mathfrak{f}_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}$
베버(Weber) 모듈라 함수 참조

$\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})$

$\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})$

필요한 정의

nome

$q=e^{2\pi i \tau}$

데데킨트 에타함수

$\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})$
베버(Weber) 모듈라 함수

$\mathfrak{f}(\tau)=\frac{e^{-\frac{\pi i}{24}}\eta(\frac{\tau+1}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n-\frac{1}{2}})$

$\mathfrak{f}_1(\tau)=\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}=q^{-1/48} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n-\frac{1}{2}})$

$\mathfrak{f}_2(\tau)=\sqrt{2}\frac{\eta(2\tau)}{\eta(\tau)}=\sqrt{2}q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1+q^{n})$

special values

$G_{25}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$

$g_{10}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}$

$g_{58}=\sqrt{\frac{\sqrt{29}+5}{2}}$

class invariants의 계산

크로네커 극한 공식의 이용

(정리)

판별식이 같은 즉 m=b_1^2-a_1c_1=b_2^2-a_2c_2 인 두 양의정부호 이차형식 Q_1(X,Y)=a_1X^2+2b_1XY+c_1Y^2 와 Q_2(X,Y)=a_2X^2+2b_2XY+c_2Y^2 에 대하여,

$\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s) = \lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(a_1X^2+2b_1XY+c_1y^2)^s}-\frac{1}{(a_2X^2+2b_2XY+c_2y^2)^s}\} =\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{a_1}{a_2}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^2\}$ 이 성립한다.

여기서

$\tau=\frac{-b_1+i\sqrt{m}}{a_1}$ , $\omega=\frac{-b_2+i\sqrt{m}}{a_2}$

와 , 에 대하여 위의 정리를 적용하면,

$\tau=i\sqrt\frac{{2c}}{a}$ , $\omega=i\sqrt{\frac{c}{2a}}=\frac{\tau}{2}$

$\lim_{s\to1^{+}}\sum_{(X,Y)\ne (0,0)}\{\frac{1}{(aX^2+2cy^2)^s}-\frac{1}{(2aX^2+cy^2)^s}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{\sqrt{\frac{a}{2a}}|\frac{\eta(\omega)}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}|\frac{\eta(\frac{\tau}{2})}{\eta(\tau)}|^{2}\}=\frac{2\pi}{\sqrt{m}}\ln\{ \sqrt{\frac{1}{2}}(2^{1/4}g_{\frac{2c}{a}})^{2}\}=\frac{4\pi}{\sqrt{m}}\ln g_{\frac{2c}{a}}$
여기서

$g_n=2^{-1/4}f_1(\sqrt{-n})=2^{-1/4}\frac{\eta(\frac{\sqrt{-n}}{2})}{\eta(\sqrt{-n})}$

위의 경우는 $\tau=i\sqrt{n}=i\sqrt{\frac{2c}{a}}$ 인 경우

$g_{58}$ 의 계산

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-58})$ , : class group

$d_K=\Delta=b^2-4ac=-240$ 인 정수계수 이변수 이차형식(binary integral quadratic forms)은 다음 두 개의 class를 가짐

,

준동형사상 $\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}$ 에 대하여 일반화된 데데킨트 제타함수를 정의할 수 있음

$L(s, \chi) =\sum_{\mathfrak{a} \text{:ideals}}\frac{\chi(\mathfrak{a})}{N(\mathfrak{a})^s} = \sum_{A\in C_K}{\chi(A)}\zeta_K(s,A)$
일반적으로 ${d_K}=d_1d_2$ 에 대응되는 genus character $\chi \colon I_K \to \mathbb C^{*}$ ( $\chi \colon C_K \to \mathbb C^{*}$ ) 를 정의할 수 있는데, , 로 두면, 다음을 얻는다

$\chi(Q_1)=\left(\frac{29}{x^2+58y^2} \right)=\left(\frac{29}{59} \right)=1$

$\chi(Q_2)=\left(\frac{29}{2x^2+29y^2} \right)=\left(\frac{29}{31} \right)=-1$
위에서 얻은 정리를 이용(, , 인 경우)하면 다음을 얻는다

$L(s, \chi) =\chi(Q_1)}\zeta_K(s,Q_1)+\chi(Q_2)}\zeta_K(s,Q_2)$

$\zeta_K(s,Q_1)=\frac{1}{2}\zeta_{Q_1}(s)$ , $\zeta_K(s,Q_2)=\frac{1}{2}\zeta_{Q_2}(s)$ 이므로

$L(1, \chi) =\frac{1}{2}\lim_{s\to1^{+}}\zeta_{Q_1}(s)-\zeta_{Q_2}(s)=\frac{2\pi}{\sqrt{58}}\ln g_{58}$
이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식에 의하여 다음을 얻는다

$L_{d_1}(1)=\frac{2 h_1 \ln \epsilon}{\sqrt{d_1}}= \frac{2\ln \frac{5+\sqrt{29}}{2}}{\sqrt{29}}$

$L_{d_2}(1)=\frac{2\pi h_2}{w_2 \cdot \sqrt{|d_2|}}=\frac{\pi}{2\sqrt{2}}$

판별식이 작은 경우의 이차형식 목록과 실 이차수체(real quadratic field) 의 class number와 fundamental unit 항목을 참조

데데킨트 제타함수에서 얻은 결과 $L(s, \chi) =L_{d_1}(s)L_{d_2}(s)$ 를 이용하면 다음을 얻는다

$L(1, \chi) =L_{d_1}(1)L_{d_2}(1)=\frac{\pi \ln \frac{5+\sqrt{29}}{2}}{\sqrt{58}}$
위의 $L(1, \chi)$ 에 대한 두 표현을 비교하여 다음을 얻는다

$g_{58}=\sqrt{\frac{\sqrt{29}+5}{2}}$

오일러의 convenient 수

다음 오일러의 convenient number ( Idoneal number) 에 대해서는 $g_{58}$ 을 구하는 것과 똑같은 방법을 적용하여 $g_{n}$ 을 계산할 수 있음
n=10,{x^2+10 y^2,2 x^2+5 y^2}
n=18,{x^2+18 y^2,2 x^2+9 y^2}
n=22,{x^2+22 y^2,2 x^2+11 y^2}
n=28,{x^2+28 y^2,4 x^2+7 y^2}
n=30,{x^2+30 y^2,2 x^2+15 y^2,3 x^2+10 y^2,5 x^2+6 y^2}
n=42,{x^2+42 y^2,2 x^2+21 y^2,3 x^2+14 y^2,6 x^2+7 y^2}
n=58,{x^2+58 y^2,2 x^2+29 y^2}
n=60,{x^2+60 y^2,3 x^2+20 y^2,4 x^2+15 y^2,5 x^2+12 y^2}
n=70,{x^2+70 y^2,2 x^2+35 y^2,5 x^2+14 y^2,7 x^2+10 y^2}
n=78,{x^2+78 y^2,2 x^2+39 y^2,3 x^2+26 y^2,6 x^2+13 y^2}
n=102,{x^2+102 y^2,2 x^2+51 y^2,3 x^2+34 y^2,6 x^2+17 y^2}
n=130,{x^2+130 y^2,2 x^2+65 y^2,5 x^2+26 y^2,10 x^2+13 y^2}
n=190{x^2+190 y^2,2 x^2+95 y^2,5 x^2+38 y^2,10 x^2+19 y^2}
n=210{x^2+210 y^2,2 x^2+105 y^2,3 x^2+70 y^2,5 x^2+42 y^2,6 x^2+35 y^2,7 x^2+30 y^2,10 x^2+21 y^2,14 x^2+15 y^2}