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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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리만제타함수

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이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

  • 다음과 같은 급수로 복소함수를 정의

    \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}, \mathfrak{R}(s)>1

  • 이렇게 실수부가 1보다 큰 복소수 영역에서 급수로 정의된 함수를 해석적확장을 통해, 복소평면 전체에서 정의된 함수를 정의할 수 있음.
  • 그렇게 복소수 전체에서 정의된 함수를 리만의 제타함수라고 부름.
  • 리만가설은 리만제타함수의 해에 관련된 미해결문제.
  • 정수론에서 소수의 분포와 관련한 정보를 담고 있는 중요한 함수
  • 이 함수를 이해하는 좀더 일반적인 이론적 틀에 대해서는 L-함수, 제타함수와 디리클레 급수 항목을 참조

 

 

해석적확장 (analytic continuation)

  • 감마함수

    \Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}

    를 이용하면, 

    \int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}

  • 형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.

\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}

  • 그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같이 수정하여, 적분이 모든 s에 대하여 정의되도록 함.

\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}

여기서는 자코비 세타함수의 성질

\theta({iy)=\frac{1}{\sqrt{y}}\theta(\frac{i}{y})

이 사용됨.

 

 

리만제타함수의 함수방정식

  • 리만제타함수는 s=\frac{1}{2} 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.

    \xi(s) = \xi(1 - s) 즉,

    \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)

(증명)

자코비 세타함수의 모듈라 성질을 사용하면,

\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}

이므로, \xi(s) 의 정의를 이용하면,

\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}

를 얻는다.

이 식에서 s \leftrightarrow 1-s 는 우변을 변화시키지 않음므로 함수방정식 \xi(s) = \xi(1 - s)을 얻는다.

(증명끝)

 

 

복소함수로서의 리만제타함수
  • meromorphic function

  • 1에서 pole 을 가지며 로랑급수 전개는 다음과 같다

    \zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))

    더 정확히는

    \zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n

    \gamma_n은 스틸체스 상수

 

리만가설

 

 

제타values

 

 

 

메모

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

 

관련된 항목들

 

 

수학용어번역

  • analytic continuation     해석적 접속

  • continuation     연속
  • continuation method     연속법
  • direct analytic continuation     직접해석접속

 

 

표준적인 도서 및 추천도서

 

 

관련논문과 에세이

 

사전형태의 자료

 

 

관련링크와 웹페이지

 

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Last edited on 09/22/2011 08:06 by 피타고라스

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