리만제타함수

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리만제타함수

개요

다음과 같은 급수로 복소함수를 정의

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ , $\mathfrak{R}(s)>1$
이렇게 실수부가 1보다 큰 복소수 영역에서 급수로 정의된 함수를 해석적확장을 통해, 복소평면 전체에서 정의된 함수를 정의할 수 있음.
그렇게 복소수 전체에서 정의된 함수를 리만의 제타함수라고 부름.
리만가설은 리만제타함수의 해에 관련된 미해결문제.
정수론에서 소수의 분포와 관련한 정보를 담고 있는 중요한 함수
이 함수를 이해하는 좀더 일반적인 이론적 틀에 대해서는 L-함수, 제타함수와 디리클레 급수 항목을 참조

해석적확장 (analytic continuation)

자코비 세타함수를 이용하여, 리만제타함수를 복소평면 전체로 확장할 수 있음.

$\theta(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2 \tau}$

감마함수

$\Gamma(s) = \int_0^\infty e^{-t} t^{s} \frac{dt}{t}$

를 이용하면,

$\int_0^\infty e^{-\pi n^2t} t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} = {\pi}^{-\frac{s}{2}}\Gamma(\frac{s}{2})\frac{1}{n^s}$
형식적으로는 다음과 같은 적분에 의해, 리만제타함수를 얻을 수 있음.

$\xi(s) : = \pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)= \int_0^\infty (\frac{\theta(it)-1}{2})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}$

그러나 위의 적분은 모든 s에 대하여 수렴하지 않음. 따라서 다음과 같이 수정하여, 적분이 모든 s에 대하여 정의되도록 함.

$\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma(s/2)\zeta(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}$

여기서는 자코비 세타함수의 성질

$\theta({iy)=\frac{1}{\sqrt{y}}\theta(\frac{i}{y})$

이 사용됨.

http://people.reed.edu/~jerry/311/zeta.pdf analytic continuation

리만제타함수의 함수방정식

리만제타함수는 $s=\frac{1}{2}$ 에 대하여 대칭성을 가지고, 그에 따른 함수방정식을 만족시킴.

$\xi(s) = \xi(1 - s)$ 즉,

$\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)$

(증명)

자코비 세타함수의 모듈라 성질을 사용하면,

$\int_0^1 (\theta(it)-\frac{1}{\sqrt{t}})t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}= \int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}$

이므로, $\xi(s)$ 의 정의를 이용하면,

$\xi(s) = \frac{1}{s-1}-\frac{1}{s} +\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{1-s}{2}} \frac{dt}{t}+\frac{1}{2}\int_1^\infty (\theta(it)-1)t^{\frac{s}{2}} \frac{dt}{t}$

를 얻는다.

이 식에서 $s \leftrightarrow 1-s$ 는 우변을 변화시키지 않음므로 함수방정식 $\xi(s) = \xi(1 - s)$ 을 얻는다.

(증명끝)

복소함수로서의 리만제타함수

meromorphic function
1에서 pole 을 가지며 로랑급수 전개는 다음과 같다

$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))$

더 정확히는

$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} \gamma_n \; (s-1)^n$

$\gamma_n$ 은 스틸체스 상수

리만가설

리만가설

제타values

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리만제타함수

수학용어번역

analytic continuation 해석적 접속
- 해석적확장으로 하는게 적당해 보임
continuation 연속
continuation method 연속법
direct analytic continuation 직접해석접속

단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
발음사전 http://www.forvo.com/search/
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
남·북한수학용어비교
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Harold M. Edwards Riemann's Zeta Function

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블로그

Riemann's zeta function
- Williams, Floyd, June 16, 2008, MSRI 'A Window into Zeta and Modular Physics'워크샵
- 리만제타함수의 해석적 연속 및 함수방정식에 대한 내용을 담고 있는 강의
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