클라인의 4차곡선

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• 클라인의 4차곡선

 

 

개요

• 종수(genus)가 3인 복소대수곡선

  • 에서 로 주어진 (복소) 대수곡선

  • 푸앵카레 상반평면을 universal covering으로 갖는 쌍곡기하학의 곡면

    

    

• 쌍곡기하학 세계의 Platonic solid, 즉 정다면체

  • 정칠각형으로 24조각으로 만들어진 정이십사면체
  • 자기동형군, 즉 대칭군은 PSL(2,7)와 동형임. 
  • 168가지의 대칭을 가짐

 

 

자기동형군

• 

• order 3

  x-> y-> z-> x

• order 7

  x->ax, y->by, z->cz for some a,b,c

  we want a^3b=b^3c=c^3a

  solution : a=\zeta^4, b=\zeta^2,c=\zeta^1 where \zeta^7=1

 

PSL(2,7)

• PSL(2,7) (isomorphic PSL(3,2)) has order 168
• GL(2,7) has order (7^2-1)(7^2-7)
• SL(2,7) has order (7^2-1)7=6\times 7\times 8
• PSL(2,7) has order 6\times 7\times 8/2

• 크기가 가장 작은 후르비츠 군이다 (a^2=b^3=c^7=abc=1)

  a=S, b=ST, c=T 로 두면 된다(S,T는 모듈라 군(modular group) 의 원소)

  , 

 

 

PSL(2,7)은 3차원 표현을 가지므로 \mathbb{C}[x,y,z]에 작용한다.

any polynomial invariant under PSL(2,7) also invariant under subgroup of order 21.

(generated by order 3 transformation x-> y-> z-> x and order 7 transformation x->ax, y->by, z->cz where a=\zeta^4, b=\zeta^2,c=\zeta^1 where \zeta^7=1)

Not many invariant elements of degree 4.

Only monomials of degree 4 invariant under elements of order 7 are x^3y,y^3z,z^3x.

If in addition we require invariance under x->y->z-> x, only possibility is constant \times (x^3y+y^3z+z^3x).

If any Hurwitz group acts on a curve, then PSL(2,7) acts on x^3y+y^3z+z^3x=0

 

 

 

(2,3,7) 삼각형

• 삼각형의 세 각이 각각

  

  로 주어지며, 이 세각의 크기를 모두 더하면,

  

  가 되어, 180도보다 작게 된다.

• 쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.
• 쌍곡기하학 항목 참조

 

 

전개도

 

 

 

세타함수

• 세타함수

  

  

  

• 세타함수는 클라인 곡선을 매개화한다

  ,

  

  

 

 

조각

 

 

재미있는 사실

• A5 다음으로 크기가 작은 비가환 유한단순군이다. 168은 7×24, 일주일에 담긴 시간의 수

• 쌍곡기하학의 정다면체로 이해할 수 있음.

  • 정칠각형 24조각

 

 

메모

• Magnetic Klein Quartic
• http://www.math.uic.edu/~agol/conglink.pdf

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxYjA0YzMzNTYtYzc2Ny00NGE2LWIzY2QtMWU1MTJiODYwM2Y3&sort=name&layout=list&num=50
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation

• 매스매티카 파일 목록

 

 

관련된 항목들

• 컴팩트 리만곡면의 자기동형군에 대한 Hurwitz 정리
• 비유클리드 기하학
• 반전사상(inversion)

 

 

사전형태의 자료

 

 

관련도서

• The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve

  • Edited by Silvio Levy

 

 

관련논문

• Ramanujan modular forms and the Klein quartic

  • G. Lachaud, Mosc. Math. J., 5:4 (2005), 829–856

• Shimura curve computations

  • Noam Elkies, "Algorithmic Number Theory: 3rd International Symposium, ANTS-III; Portland, OR, 6/98: Proceedings", J.P.Buhler, ed.; Lecture Notes in Computer Science, Vol.1423, pages 1-47, 2000

• On the Order-Seven Transformation of Elliptic Functions

  • Felix Klein (translated by Silvio Levy)

• A Hyperbolic Plane Coloring and the Simple Group of Order 168

  • Dana Mackenzie, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 8 (Oct., 1995), pp. 706-715

• Riemann surfaces as descriptors for symmetrical negative curvature carbon and boron nitride structures

  • KING R. Bruce, Croatica chemica acta, 2002, vol. 75, no2, pp. 447-473
• Platonic tilings of Riemann surfaces

 

 

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