클라인의 4차곡선

이 항목의 스프링노트 원문주소

클라인의 4차곡선

개요

종수(genus)가 3인 복소대수곡선
- $\mathbb CP^2$ 에서 로 주어진 (복소) 대수곡선
- 푸앵카레 상반평면을 universal covering으로 갖는 쌍곡기하학의 곡면
  
  $\mathbb H^2/\Gamma(7)$
  
  $\Gamma(7)=\left\{\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \in SL(2,\mathbb Z) : \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix} \pmod 7\right\}$
쌍곡기하학 세계의 Platonic solid, 즉 정다면체
- 정칠각형으로 24조각으로 만들어진 정이십사면체
- 자기동형군, 즉 대칭군은 PSL(2,7)와 동형임.
- 168가지의 대칭을 가짐

자기동형군

order 3

x-> y-> z-> x
order 7

x->ax, y->by, z->cz for some a,b,c

we want a^3b=b^3c=c^3a

solution : a=\zeta^4, b=\zeta^2,c=\zeta^1 where \zeta^7=1

PSL(2,7)

PSL(2,7) (isomorphic PSL(3,2)) has order 168
GL(2,7) has order (7^2-1)(7^2-7)
SL(2,7) has order (7^2-1)7=6\times 7\times 8
PSL(2,7) has order 6\times 7\times 8/2
크기가 가장 작은 후르비츠 군이다 (a^2=b^3=c^7=abc=1)

a=S, b=ST, c=T 로 두면 된다(S,T는 모듈라 군(modular group) 의 원소)

$S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$ , $T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

PSL(2,7)은 3차원 표현을 가지므로 \mathbb{C}[x,y,z]에 작용한다.

any polynomial invariant under PSL(2,7) also invariant under subgroup of order 21.

(generated by order 3 transformation x-> y-> z-> x and order 7 transformation x->ax, y->by, z->cz where a=\zeta^4, b=\zeta^2,c=\zeta^1 where \zeta^7=1)

Not many invariant elements of degree 4.

Only monomials of degree 4 invariant under elements of order 7 are x^3y,y^3z,z^3x.

If in addition we require invariance under x->y->z-> x, only possibility is constant \times (x^3y+y^3z+z^3x).

If any Hurwitz group acts on a curve, then PSL(2,7) acts on x^3y+y^3z+z^3x=0

(2,3,7) 삼각형

삼각형의 세 각이 각각

$\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}$

로 주어지며, 이 세각의 크기를 모두 더하면,

$\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}$

가 되어, 180도보다 작게 된다.
쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.
쌍곡기하학 항목 참조

전개도

세타함수

세타함수

$\theta_{7,1}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+1)^2}{56}}=q^{1/56}(q^3;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty$

$\theta_{7,3}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+3)^2}{56}}=q^{9/56}(q^2;q^7)_\infty (q^5; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}$

$\theta_{7,5}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+5)^2}{56}}=q^{25/56}(q;q^7)_\infty (q^6; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty$
세타함수는 클라인 곡선을 매개화한다

$x=\theta_{7,1}$ , $y=-\theta_{7,5}$ $z=\theta_{7,3}$

$xyz=-\eta(\tau)\eta(7\tau)^2$