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해밀턴의 사원수(quarternions)

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해밀턴의 사원수

개요

복소수는 을 만족시키는 수를 가지고 실수를 확장하여 얻어짐.
복소수는 2차원의 회전을 공부하는데 유용함.
해밀턴은 3차원에서의 회전을 잘 표현할 수 있는 수 체계를 찾으려 하였으나, 오랜 시간의 실패를 경험
1843년 마침내 4차원에서 복소수에 대응될만한 수체계를 발견함.
4차원 normed 나눗셈 대수

정의

4원수란 형태의 수(a,b,c,d는 실수) 이다.
여기서 는 실수, 는 곱셈에 대하여 다음과 같은 성질을 만족시키는 심볼
사원수의 곱셈은 교환법칙을 만족시키지 않는다.
모든 4원수들의 집합을 $\mathbb{H}$ 로 보통 표현한다.

군론과의 관계

$\{\pm 1, \pm i, \pm j, \pm k\}$ 는 차수가 8인 군의 구조를 이룸

곱셈표는 다음과 같이 읽음

$\cdot$	b
a	$a \cdot b$

$\cdot$	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
1	1	-1	i	-i	j	-j	k	-k
-1	-1	1	-i	i	-j	j	-k	k
i	i	-i	-1	1	k	-k	-j	j
-i	-i	i	1	-1	-k	k	j	-j
j	j	-j	-k	k	-1	1	i	-i
-j	-j	j	k	-k	1	-1	-i	i
k	k	-k	j	-j	-i	i	-1	1
-k	-k	k	-j	j	i	-i	1	-1

외적과의 관계

사원수의 곱셈은 3차원 벡터의 내적, 외적과 다음과 같은 관계를 가진다.
사원수 를 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)$ 로 두어 $(a,\mathbf{x)}$ 로 쓰자.
$(a+x_1i+x_2j+x_3k)\cdot (b+y_1i+y_2j+y_3k)=(a,\mathbf{x)}\cdot(b,\mathbf{y)}=(ab-\mathbf{x}\cdot\mathbf{y},a\mathbf{y}+b\mathbf{x}+\mathbf{x}\times\mathbf{y})$
여기서 $\times$ 는 3차원 벡터의 외적

3차원 기하학과의 관계

단위 사원수 에 대하여, 3차원 벡터 에 다음과 같이 작용하는 연산을 생각하자.
- $q(xi+yj+zk)q^{-1}$
이러한 연산은, 3차원의 회전변환으로 작용한다.

사원수 를 복소행렬 $\begin{pmatrix}a+bi & c+di \\ -c+di & a-bi \end{pmatrix}$ 에 대응시키면 단위사원수와 SU(2) 사이에 isomorphism 을 얻는다.

파울리 행렬과의 관계

$\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\ 1&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\ i&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\ 0&-1 \end{pmatrix}$

$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = -i\sigma_1 \sigma_2 \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I$

$1 \mapsto 1, i \mapsto \sigma_1 \sigma_2, j \mapsto \sigma_3 \sigma_1, k \mapsto \sigma_2 \sigma_3$

메모

관련된 항목들

사전 형태의 자료

http://www.wolframalpha.com/input/?i=quaternions

관련논문

Hamilton's Discovery of Quaternions
- B. L. van der Waerden, Mathematics Magazine, Vol. 49, No. 5 (Nov., 1976), pp. 227-234
http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
http://www.ams.org/mathscinet
http://dx.doi.org/

관련도서

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