평면상의 직선이 무엇인지는 다들 잘 알고 계실 겁니다. 평면 위의 기하학이 바로 평면기하학, 유클리드 기하학인 것이죠. 그렇다면 구면상에서의 직선은 무엇인가? 구면상에서의 직선은 바로 구면상에 있는 대원들이 됩니다. 구면 위에 두 점이 있을 때, 그 두점과 구의 중심은 하나의 평면을 결정하고, 그 평면과 구면이 만나서 그리는 원을 대원이라고 하는 것이죠. 구면위의 두 점을 지나는 최단곡선은 그렇게 얻어집니다.
문제는 이제 위와 같이 생긴 삼각형 ABC의 넓이를 어떻게 구할수 있는가 하는 것입니다. 편의를 위해 앞으로 구의 반지름은 1이라고 두겠습니다.
손톱모양의 넓이
북극과 남극을 잇는 두 개의 대원이 이루는 손톱모양의 넓이는, 그 둘 사이의 각도에 의해 결정되고, 그 넓이는 다음과 같습니다.
대원둘의 각도가 로 주어졌다면, 손톱모양의 넓이는
가 됩니다.
넓이가 각도에 비례한다는 사실과, 반지름이 1인 구면의 넓이는 라는 사실을 이용하면 됩니다.
(정리)
세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이는 이다
이를 이용하면, 이제 세 각이 A,B,C 로 주어진 구면삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.
(증명)
위의 그림처럼, 구면삼각형의 한 꼭지점에서 반대편 극에 마주보고 있는 점까지 대원을 잇습니다. 그러면 위에처럼 회색으로 칠한 손톱모양이 세개 얻어지는데요. 그럼 눈을 크게 뜨고 관찰을 해볼까요.
이 손톱모양 세개는 정확히 구면의 절반을 덮고 있습니다.
세개의 손톱모양 각각의 넓이는 위에서 본대로 2A,2B,2C 입니다.
따라서 2A+2B+2C - (구면삼각형 ABC의 넓이 x 2 ) = (= 구면의 절반의 넓이)
그러므로 구면삼각형 ABC의 넓이는 . ■
| 구면기하학 | ||
|---|---|---|
| Td | Oh | Ih |
| *332 | *432 | *532 |
 ( 3 3 2) |
 (4 3 2) |
 (5 3 2) |
이 표의 그림속에 구면 위에 그려진 삼각형들이 바로 구면삼각형들인데, 예를 들어 가운데 (4 3 2)라는 녀석은 그 삼각형의 세 각이 각각
라는 것을 말한다. 이 삼각형의 세각을 더해보면,
가 되어 180도 보다 크다는 것을 알 수 있다. 구면기하학에서는 일반적으로 삼각형의 세 각을 더하면 180도보다 크게 된다. 이는 곡률이 양수이기 때문에 나타나는 현상이다.
1603 토마스 해리엇(Thomas Harriot)이 구면삼각형의 넓이 공식을 발견
1629 Girard가 구면삼각형의 넓이 공식의 증명을 출판
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구면삼각형의 넓이에 대한 Girard-Harriot의 정리