순환군

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순환군

개요

하나의 원소로 생성될 수 있는 군을 순환군(cyclic group)이라 함. 즉 모든 원소가 한 원소의 적당한 정수제곱으로 표현가능한 경우를 말함.
- $(\mathbb Z,+)$ 의 경우는 1로 모든 원소를 생성가능하므로, 순환군임.
- 2차원 평면의 정n각형에 대한 n개의 회전변환은 순환군임.
- 를 만족시키는 n개의 복소수들은 곱셈에 대하여 순환군이 됨
  - $\zeta=e^{2\pi i \over 5}$ 으로 생성가능.
- $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$ 는 순환군임
- $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$ 가 순환군이 되는 경우는 원시근(primitive root) 항목을 참조

순환군의 부분군

(정리) 순환군의 모든 부분군은 순환군이다.

(증명)

H 가 G의 부분군이라고 하자. a는 G의 생성원이라고 하자.

G의 원소는 $\cdots, a^{-1},a^{-1},a^{0}, a^1,a^2,\cdots$

따라서 각각의 원소에 이 지수를 정의할 수 있다. ( $\log_a g$ 로 생각할 수 있음)

항등원을 제외한 H의 원소중에서 이 지수의 값이 양수이며, 가장 작은 원소가 존재한다. 이 값을 로 두자.

H의 원소 $a^k=a^{dq}a^r=(a^d)^q a^r$ 에 대하여, $k=dq+r, 0\leq r < d$ 를 사용하면, $a^k=a^{dq}a^r=(a^d)^q a^r$ 형태로 쓸 수 있다.

H는 부분군이므로, $a^r=(a^d)^{-q}a^k$ 는 H의 원소이다. 의 정의에 따라, 은 0이어야 한다.

그러므로, 모든 H의 원소는 $a^k=a^{dq}a^r=(a^d)^q a^r$ 로 생성가능하다. ■

역사

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순환군과 유한아벨군의 표현론

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