등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요

(정리) 디리클레, 1837

자연수 a, b 가 서로 소이면 등차수열 {an+b} (n=0,1,2,…) 는 무한히 많은 소수를 포함한다

 

 

증명의 재료

 

 

증명의 아이디어 소개

\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty 임은 이미 소수와 리만제타함수 를 통해 알고 있음.

이 사실은 소수가 무한히 많음을 말해줌.

이 아이디어와 군표현론의 아이디어를 결합.

준동형사상 \chi \colon(\mathbb{Z}/4\mathbb{Z})^\times \to \mathbb C^{*} 는 두 가지 경우가 가능.

\chi_0(3)=1 인 경우

\chi_1(3)=-1 인 경우

 

자연수 위에 정의된 함수 f 가 있어, 다음 두 조건을 만족시킨다고 하자.

f(n) = 1 \mbox{ if } n\equiv 3 \pmod{4}

f(n) = 0 \mbox{ if } n\equiv 0,1,2 \pmod{4}

f(n) ={\chi_0(n) - \chi_1(n) \over 2}  로 쓸 수 있다.

 \sum_{p \text{:prime } \equiv 3 \pmod 4} \frac{1}{p} = \sum_{p \text{:prime}} \frac{f(p)}{p}={1\over 2 }\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p) - \chi_1(p)}{p} \approx {1\over 2 }(\sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_0(p)}{p} - \sum_{p \text{:prime}} \frac{\chi_1(p)}{p}})

우변의 첫번째 항은 1 \,+\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,+\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,+\, \cdots = \infty 에 의해 발산함을 안다.

우변의 두번째 항은 1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}에 의해 수렴함을 안다. 이는 라이프니츠 급수,

따라서 4로 나누어 나머지가 3이 되는 소수가 무한함을 알 수 있음

마찬가지로 f를 적당히 바꿔준다면, 4로 나누어 1이 되는 소수가 무한함도 역시 같은 방법으로 보일 수 있음.

 

 

군표현론

 

 

디리클레 L-함수

 

 

s=1일 때, 디리클레 L-함수의 값

 

 

 

메모

\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s}= \left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots \right) \left(1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \cdots \right) \cdots \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \cdots \right) \cdots

\zeta(s) =\prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}}

\log \zeta(s) = \log \prod_{p \text{:prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} =\sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})

\log(1+x) \approx x

\log \zeta(s) = \sum_{p \text{:prime}} -\log (1-p^{-s})\approx \sum_{p \text{:prime}} \ p^{-s}=\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p^s}

\sum_{p \text{:prime}} \frac{1}{p}=\infty

 

 

역사

 

 

관련된 고교수학 또는 대학수학

 

관련된 다른 주제들

 

 

관련도서 및 추천도서

 

 

사전형태의 자료

 

 

블로그