감마함수

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• 감마함수

 

 

개요

• 팩토리얼 함수의 정의역을 복소수로 확장하는 함수이다.
• 라그랑주(Lagrange)가 이 함수를 나타내기 위해 처음으로 그리스 대문자 감마(Γ)를 사용하였으며, 그 이후로 정식 표기로 굳어짐.
• 자연수에 대해 팩토리얼과 같은 값을 가지면서 s > 0 일때 logΓ(s) 가 convex 하게 하는 유일한 함수이다.

• 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다

  

  

  

• 대수다양체의 periods 를 표현하는데 등장하며, 가 유리수일때의 감마함수의 값이 초월수인지, 그리고 그 값들 사이의 대수적 관계에 대한 문제는 중요 미해결 문제

 

 

정의

• 실수부가 인 복소수 에 대하여 다음과 같이 정의

  

• 
• 자연수 에 대하여 

• 가우스의 정의

  

 

 

해석적확장

• 해석적확장(analytic continuation)
• 를 이용하여, 복소평면전체에서 정의된 meromorphic 함수로 이해가능
• 에서 폴(pole)을 가진다

 

 

함수의 그래프

• 의 범위에서 다음과 같은 그래프를 가짐

  

• 일 때, 의 그래프

  

 

 

 

무한곱표현

 

 

반사공식

• 
• 

• 일반적으로 

  

  (증명)

 

 

곱셈공식

• 이항

  

  

• 일반화

  

 

 

적분표현

• Binet's second expression

   일 때, 

  http://dlmf.nist.gov/5/9/ 참고

 

 

Hurwitz 제타함수와의 관계

• 적당한 상수 R이 존재하여 

• 후르비츠 제타함수(Hurwitz zeta function) 참조

 

 

쿰머의 푸리에 급수

• 로그감마 함수의 푸리에 급수

  

 

 

테일러 급수

• 로그감마 함수의 테일러 급수

  

 

 

Digamma  함수

• 감마함수의 로그미분으로 정의

• 자세한 사실은 Digamma 함수 항목 참조.

 

 

오일러 베타적분

• 오일러 베타적분 항목 참조

 

 

감마함수와 초월수

• 감마함수의 유리수에서의 값이 초월수인지의 문제.

• 다음 경우가 초월수 임이 알려져 있다

  , , , , , 

• 미해결 문제. 다음은 초월수인가?

  

• 무리수와 초월수 항목 참조

 

 

 

역사

• The birth of the real factorial function
• http://mathoverflow.net/questions/9746/who-invented-the-gamma-function

 

 

관련된 항목들

• q-감마함수
• 파이가 아니라 2파이다?
• 정규분포의 확률밀도함수는 어떻게 얻어지는가?
• 가우시안 적분
• 스털링 공식
• 리만제타함수와 리만가설
• 베타적분

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZmM5YWZjMzAtZmVjNS00OWUxLWJhZGUtMzMwN2Q4YmI5ZTIz&sort=name&layout=list&num=50
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=
• http://functions.wolfram.com/
• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
• Numbers, constants and computation

• 매스매티카 파일 목록

 

사전형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/감마함수
• http://en.wikipedia.org/wiki/gamma_function
• http://en.wikipedia.org/wiki/Particular_values_of_the_Gamma_function
• http://en.wikipedia.org/wiki/Bohr–Mollerup_theorem
• http://mathworld.wolfram.com/BinetsLogGammaFormulas.html

 

 

관련도서

• The Gamma Function

  • Emil Artin

 

 

관련논문

• Dutka, Jacques. 1991. “The early history of the factorial function.” Archive for History of Exact Sciences 43 (3): 225-249. doi:10.1007/BF00389433.

• The Gamma Function and the Hurwitz Zeta-Function

  • Bruce C. Berndt, The American Mathematical Monthly, Vol. 92, No. 2 (Feb., 1985), pp. 126-130

• Algebraic independence of the values of elliptic function at algebraic points

  • G. Chudnovsky, Inventiones Mathematicae, Volume 61, Number 3 / 1980년 10월

• http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=gamma+function
• http://www.ams.org/mathscinet
• http://dx.doi.org/10.1007/BF00389433

 

 

 

블로그

• http://twistedone151.wordpress.com/2008/05/26/monday-math-21-the-gamma-function-part-4/
• 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=감마함수