모든 자연수의 곱과 리만제타함수

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모든 자연수의 곱과 리만제타함수

개요

모든 자연수의 곱은 물론 발산
리만제타함수의 0에서의 미분값을 묻는 문제로 이해할 수 있음
$\zeta'(0)=-\log{\sqrt{2\pi}}$ (아래에서 증명함)
$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}$ , $\zeta'(s)=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\log n}{n^s}$
여기서 (형식적으로)

$\zeta'(0)=-\sum_{n=1}^{\infty}\log n$

$\prod_{1}^{\infty} n =\sqrt{2\pi}$
즉 모든 자연수의 곱은 $\sqrt{2\pi}$ (!?)

증명에 앞서 알아야 할 사실들

감마함수
리만제타함수의 함수방정식

$\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}$

증명

$\zeta(s)=\frac{\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)}{\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)}$

$f(s)=s\zeta(1-s)$ 라 두자.

$\zeta(s)=\frac{\pi^{s-1/2}\ \Gamma(\frac{1-s}{2})f(s)}{2\Gamma(\frac{s}{2}+1)}$ 의 s=0 에서의 로그미분값을 계산하면, 다음을 얻는다.

$\frac{\zeta'(0)}{\zeta(0)}=\log\pi-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(\frac{1}{2})}{\Gamma(\frac{1}{2})}+\frac{f'(0)}{f(0)}-\frac{1}{2}\frac{\Gamma'(1)}{\Gamma(1)}=\log\pi-\frac{1}{2}(\psi(1)+\psi(\frac{1}{2}))+ \frac{f'(0)}{f(0)}$