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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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포드 원 (Ford Circles)

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개요

 

  • p,q가 서로 소인 자연수일 때, 중심이 (\frac{p}{q},\frac{1}{2q^2}) 이고, 반지름이 \frac{1}{2q^2}인 원을 포드 원이라 함

    • y=0에 접함

 

ford_circles.gif

 

 

관찰

위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 x 좌표이다.)

 

  • p,q가 서로소인 자연수들이니까, 원 중심의 x 좌표들은 기약분수들이 되겠다.
  • 서로 겹치는 두 Ford circle 은 없는 듯 하다.

  • 접하는 두 포드 원 사이에는 어떤 관계가 있을까?

    • \frac35 , \frac23      \frac35 , \frac58      \frac58, \frac23      \frac58, \frac{7}{11}   ...
    • 10-9 = 25-24 = 16 - 15 = 56 - 55 = \cdots = 1

  • 서로 접하는 세 포드 원 사이에는?

    • \frac35, \frac58 , \frac23      \frac35, \frac{8}{13} , \frac58      \frac58, \frac{7}{11} , \frac23      \frac47, \frac{7}{12} , \frac35
    • 뭔가 발견했는가?

이제 Farey series 를 읽고 다시 돌아오자. (오른쪽 클릭 - 새 탭 열기/새 창 열기)

  • 서로 접하는 세 원의 중심의 x 좌표를 보자. 저 세 수를 가지는 (가장 작은) Farey Series 를 찾을 수 있겠는가? 그 때, 그 세 수는 어떻게 배열되어 있는가?

 

 

관찰의 증명
  1. 서로 겹치는 두 포드 원은 없음.

Proof.

아래에 서로 다른 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 x 좌표가 p/q 인 원이고, 원 B 는 중심의 x 좌표가 P/Q 인 원이다. (p,q, P, Q 는 자연수, gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1)

fig1.jpg

 

위 그림에서, 점 A 에서 선분 \overline{BG} 위에 내린 발을 C 라 하자. 그러면 삼각형 \triangle ACB 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,

\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2 이다. 포드 원의 정의에서 A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} ) 이므로, 각 변의 길이를 구해서 정리하면 \overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2} 를 얻는다. (http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28P%2FQ+-+p%2Fq%29%5E2+%2B+%281%2F%282+Q%5E2%29+-+1%2F%282+q%5E2%29%29%5E2+-+%281%2F%282+q%5E2%29+%2B+1%2F%282+Q%5E2%29%29%5E2+%2F%2F+FullSimplify )

여기서,

i.  |Pq -pQ|> 1 이면, \overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB} 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다.

ii.  |Pq -pQ|= 1 이면, \overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB} 이므로, 두 원은 접한다. (10-나 과정의 '두 원의 위치 관계' 참조)

iii. |Pq -pQ| <1 일 수는 없다.

왜냐하면, p,q, P, Q 는 자연수이므로 Pq -pQ = 0 이면, p/q \ne P/Q 에 모순이기 때문이다.

위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다.

 

2. 접하는 두 포드 원 사이의 관계

x 좌표가 p/q 인 포드 원을 C[p/q] 라고 쓰자.

접하는 두 포드 원 C[b/a] 과 C[d/c] 가 있으면, |ad - bc| = 1 이다.

Proof.

관찰 1 의 증명 중 ii) 로부터 알 수 있다.

3. Farey Series 와의 관계

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

 

사전형태의 자료

 

 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

 

 

관련논문
  • Ford193
  • Fractions L. R. Ford, The American Mathematical Monthly, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601

 

 

 

 

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Last edited on 12/09/2011 13:00 by 피타고라스

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Comments (3)

  • 정의역

    이 포드원에서요 2/3 3/5 5/8 이런건 어떤의미로 해석되나요? 그리고 A좌표의 y좌표가 왜 1/2*q의제곱 인가요? 1/2*p의제곱 아닌가요?

    10/23/2011 16:38
  • 피타고라스

    원에 있는 2/3 같은 것은 원 중심의 x 좌표입니다. A와 B 좌표는 오타가 있어 바로잡았습니다.

    10/23/2011 16:51
  • 정의역

    감사합니다.^^ 아주 큰 도움이 됬습니다! 정말 감사합니다^^

    10/25/2011 00:11
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