포드 원 (Ford Circles)

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개요

 

 

ford_circles.gif

 

 

관찰

위 그림을 잘 보면서 관찰해 보자. (원 안에 적혀 있는 숫자는, 원 중심의 x 좌표이다.)

 

이제 Farey series 를 읽고 다시 돌아오자. (오른쪽 클릭 - 새 탭 열기/새 창 열기)

 

 

관찰의 증명
  1. 서로 겹치는 두 포드 원은 없음.

Proof.

아래에 서로 다른 두 개의 포드 원을 그렸다. 원 A 는 중심의 x 좌표가 p/q 인 원이고, 원 B 는 중심의 x 좌표가 P/Q 인 원이다. (p,q, P, Q 는 자연수, gcd(p,q) = gcd(P, Q) = 1)

fig1.jpg

 

위 그림에서, 점 A 에서 선분 \overline{BG} 위에 내린 발을 C 라 하자. 그러면 삼각형 \triangle ACB 는 직각삼각형이 된다. 피타고라스의 정리를 적용하면,

\overline{AB}^2 = \overline{BC}^2 + \overline{CA}^2 이다. 포드 원의 정의에서 A(\frac{p}{q}, \frac{1}{2q^2}), B(\frac{P}{Q}, \frac{1}{2Q^2}), C(\frac{P}{Q},\frac{1}{2q^2} ) 이므로, 각 변의 길이를 구해서 정리하면 \overline{AB}^2 = (\overline{AD} + \overline{EB})^2 + \frac{(Pq - pQ)^2 - 1}{Q^2 q^2} 를 얻는다. (http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28P%2FQ+-+p%2Fq%29%5E2+%2B+%281%2F%282+Q%5E2%29+-+1%2F%282+q%5E2%29%29%5E2+-+%281%2F%282+q%5E2%29+%2B+1%2F%282+Q%5E2%29%29%5E2+%2F%2F+FullSimplify )

여기서,

i.  |Pq -pQ|> 1 이면, \overline{AB} > \overline{AD} + \overline{EB} 이므로, 두 원은 서로 떨어져 있다.

ii.  |Pq -pQ|= 1 이면, \overline{AB} = \overline{AD} + \overline{EB} 이므로, 두 원은 접한다. (10-나 과정의 '두 원의 위치 관계' 참조)

iii. |Pq -pQ| <1 일 수는 없다.

왜냐하면, p,q, P, Q 는 자연수이므로 Pq -pQ = 0 이면, p/q \ne P/Q 에 모순이기 때문이다.

위 세 가지 경우에서, 서로 겹쳐 있는 두 포드 원은 없음을 알 수 있다.

 

2. 접하는 두 포드 원 사이의 관계

x 좌표가 p/q 인 포드 원을 C[p/q] 라고 쓰자.

접하는 두 포드 원 C[b/a] 과 C[d/c] 가 있으면, |ad - bc| = 1 이다.

Proof.

관찰 1 의 증명 중 ii) 로부터 알 수 있다.

3. Farey Series 와의 관계

 

 

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