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가우스 합

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개요

 

 

초등정수론의 가우스합

  • 정의

    p 는 홀수인 소수

    a=1이고 \chi(t)=$\left(\frac{t}{p}\right) 일 때, 가우스합은 다음과 같이 주어짐

    g_1(\chi) := \sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right)e^{2 \pi i a/p}=\sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a}=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a}

(정리)

홀수인 소수 p에 대하여 가우스합은 다음과 같이 주어진다.

p \equiv 1 \pmod 4 일 때, g_1(\chi)=\sqrt{p}

p \equiv 3 \pmod 4 일 때, g_1(\chi)=i\sqrt{p}

  • 위의 정의 대신 다음 정의를 사용하기도 함

\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}

  • 이 두 정의가 같음을 보이자

\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}

(증명)

A=\sum_{a\in QR} \zeta^a=\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}

B=\sum_{a\in QNR} \zeta^a 라 두자.

A+B=-1

A-B=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a

2A+1=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a

한편,

2A+1=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p} 이므로,

\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p} 를 얻는다.■

  • 소수가 아닌 모든 자연수 M에 대해서도 다음과 같이 정의할 수 있음

    G(M) := \sum_{r=0}^{M-1} e^{2\pi i r^2/M}

    M \equiv 1 \pmod 4 일 때, G(M)=\sqrt{M}

    M \equiv 2 \pmod 4 일 때, G(M)=0

    M \equiv 3 \pmod 4 일 때, G(M)=i\sqrt{M}

    M \equiv 0 \pmod 4 일 때, G(M)=(1+i)\sqrt{M}

 

 

가우스합 S(p,q)와 상호법칙

  • pq가 짝수인 자연수p,q에 대하여 다음을 정의

    S(p,q)=\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}

  • p=2로 두면 위에서 정의한 가우스합을 다시 얻게 된다

    S(2,q)=G(q)

  • 성질

    S(ap,aq)=S(ap,aq)

    S(a^2p,q)=S(p,q)

    S(ap,q)=\left(\frac{a}{q}\right) S(p,q)

  • 자코비 세타함수의 cusp에서의 변화를 기술할 때 사용될 수 있음.

  • 가우스합의 상호법칙

    자연수p,q에 대하여 pq가 짝수라고 하자. 다음이 성립한다.

    \sqrt{q}\overline{S(q,p)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{p}S(p,q)

    증명은 자코비 세타함수 항목을 참조

 

 

디리클레 캐릭터와 가우스합
  • 더 일반적인 가우스합을 정의할 수 있음
  • 유한아벨군 위에 정의된 푸리에 변환 으로 이해할 수 있음
  • a\in (\mathbb Z/f \mathbb Z)^{*}와 준동형사상 \chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함

g_a(\chi) := \sum_{(t,f)=1} \chi(t) e^{2 \pi i a t/f}=\sum_{(t,f)=1} \chi(t) \zeta^{a t}

여기서  \zeta = e^{2\pi i/f}

  • a=1이고 \chi(t)=$\left(\frac{t}{p}\right) 일 때, 맨 처음에 정의한 가우스합을 다시 얻게 됨

 

 

(정리)

g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)

\chi(n)=\frac{1}{N}\sum_{(a,N)=1}g_a(\chi)e^{-2\pi i n a/N}

 

(정리)

primitive인 준동형사상 \chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}에 대하여, 가우스합은 다음을 만족시킴

\tau(\chi)=g_1(\chi)라 두면, |\tau(\chi)|=\sqrt{f}

 

(정리)

실수값을 갖는 primitive character \chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}에 대해서 다음이 성립한다.

\chi(-1)=1일때,  \tau(\chi)=\sqrt{f}

\chi(-1)=-1일 때,  \tau(\chi)=i\sqrt{f}

 

 

 

이차잉여 character의 경우

q \geq 2 는 소수라 가정하자.

 

K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q}), q \geq 3 , q \equiv 3 \pmod{4} 인 경우

d_K=-q, (\mathbb Z/q \mathbb Z)^{*}

\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)

\chi(-1)=-1, \tau(\chi)=i\sqrt{q}

 

 

 K=\mathbb{Q}(\sqrt{q}) , q \geq 5,   q \equiv 1 \pmod{4} 인 경우

d_K=q, (\mathbb Z/q \mathbb Z)^{*}

\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)

\chi(-1)=1, \tau(\chi)=\sqrt{q}

 

 

K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})  , q \geq 1 ,  q \equiv 1 \pmod{4} 인 경우

d_K=-4q, (\mathbb Z/4q \mathbb Z)^{*}

n\in \mathbb{Z}, (n,4q)=1 에 대해서는

\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)

\chi(-1)=-1, \tau(\chi)=2i\sqrt{q}

 

 

 

 K=\mathbb{Q}(\sqrt{q}) , q \geq 3,   q \equiv 3 \pmod{4} 인 경우

d_K=4q, (\mathbb Z/4q \mathbb Z)^{*}

 

일반적인n\in \mathbb{Z}, (n,4q)=1 에 대해서는

\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)

\chi(-1)=1, \tau(\chi)=2\sqrt{q}

 

 

정17각형의 작도 문제의 해결 과정에서 나타나는 가우스합
  • \zeta=e^{2\pi i \over 17}  로 두자. 이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표.
  • (3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}

  • 이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류

    • A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}
    • A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}
    • A_0+A_1= -1 임은 쉽게 알 수 있음
    • A_0-A_1 는 가우스합이므로 A_0-A_1=\sqrt{17}
    • A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} , A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}

 

메모

\sqrt{y}\theta(\frac{p}{q}+iy)\sim \frac{1}{q}S(p,q)

 

 

관련된 항목들

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

 

관련도서

  • A Classical Introduction to Modern Number Theory(Graduate Texts in Mathematics) (v. 84)

    • Kenneth Ireland, Michael Rosen

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관련논문과 에세이

 

 

사전 형태의 자료

 

 

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가우스

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