가우스 합

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가우스합

개요

이차잉여의 상호법칙 을 증명하기 위해 가우스가 도입
유한군 위에 정의된 푸리에 변환의 관점에서 이해할 수 있음
이차잉여에 등장하는 자코비 부호의 푸리에 변환
자코비 세타함수의 행동을 이해하는데 중요하다

초등정수론의 가우스합

정의

는 홀수인 소수

이고 $\chi(t)=$\left(\frac{t}{p}\right)$ 일 때, 가우스합은 다음과 같이 주어짐

$g_1(\chi) := \sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right)e^{2 \pi i a/p}=\sum_{a \in \mathbb Z/p\mathbb Z} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a}=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a}$

(정리)

홀수인 소수 에 대하여 가우스합은 다음과 같이 주어진다.

$p \equiv 1 \pmod 4$ 일 때, $g_1(\chi)=\sqrt{p}$

$p \equiv 3 \pmod 4$ 일 때, $g_1(\chi)=i\sqrt{p}$

위의 정의 대신 다음 정의를 사용하기도 함

$\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}$

이 두 정의가 같음을 보이자

$\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}$

(증명)

$A=\sum_{a\in QR} \zeta^a=\frac{1}{2}\sum_{r=1}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}$

$B=\sum_{a\in QNR} \zeta^a$ 라 두자.

A+B=-1

$A-B=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a$

$2A+1=\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a$

한편,

$2A+1=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}$ 이므로,

$\sum_{a=1}^{p-1} \left(\frac{a}{p}\right) \zeta^a=\sum_{r=0}^{p-1} e^{2\pi i r^2/p}$ 를 얻는다.■

소수가 아닌 모든 자연수 에 대해서도 다음과 같이 정의할 수 있음

$G(M) := \sum_{r=0}^{M-1} e^{2\pi i r^2/M}$

$M \equiv 1 \pmod 4$ 일 때, $G(M)=\sqrt{M}$

$M \equiv 2 \pmod 4$ 일 때,

$M \equiv 3 \pmod 4$ 일 때, $G(M)=i\sqrt{M}$

$M \equiv 0 \pmod 4$ 일 때, $G(M)=(1+i)\sqrt{M}$

가우스합 S(p,q)와 상호법칙

가 짝수인 자연수p,q에 대하여 다음을 정의

$S(p,q)=\sum_{r=0}^{q-1} e^{\pi i pr^2/q}$
로 두면 위에서 정의한 가우스합을 다시 얻게 된다
성질

$S(ap,q)=\left(\frac{a}{q}\right) S(p,q)$
자코비 세타함수의 cusp에서의 변화를 기술할 때 사용될 수 있음.
가우스합의 상호법칙

자연수p,q에 대하여 가 짝수라고 하자. 다음이 성립한다.

$\sqrt{q}\overline{S(q,p)}=e^{-\pi i/4}\sqrt{p}S(p,q)$

증명은 자코비 세타함수 항목을 참조

디리클레 캐릭터와 가우스합

더 일반적인 가우스합을 정의할 수 있음
유한아벨군 위에 정의된 푸리에 변환 으로 이해할 수 있음
$a\in (\mathbb Z/f \mathbb Z)^{*}$ 와 준동형사상 $\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}$ 에 대하여 가우스합을 다음과 같이 정의함

$g_a(\chi) := \sum_{(t,f)=1} \chi(t) e^{2 \pi i a t/f}=\sum_{(t,f)=1} \chi(t) \zeta^{a t}$

여기서 $\zeta = e^{2\pi i/f}$

이고 $\chi(t)=$\left(\frac{t}{p}\right)$ 일 때, 맨 처음에 정의한 가우스합을 다시 얻게 됨

(정리)

$g_a(\chi) = \chi(a^{-1}) g_1(\chi)=\bar\chi(a)g_1(\chi)$

$\chi(n)=\frac{1}{N}\sum_{(a,N)=1}g_a(\chi)e^{-2\pi i n a/N}$

(정리)

primitive인 준동형사상 $\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}$ 에 대하여, 가우스합은 다음을 만족시킴

$\tau(\chi)=g_1(\chi)$ 라 두면, $|\tau(\chi)|=\sqrt{f}$

(정리)

실수값을 갖는 primitive character $\chi \colon (\mathbb Z/f\mathbb Z)^{*} \to \mathbb C^{*}$ 에 대해서 다음이 성립한다.

$\chi(-1)=1$ 일때, $\tau(\chi)=\sqrt{f}$

$\chi(-1)=-1$ 일 때, $\tau(\chi)=i\sqrt{f}$

이차잉여 character의 경우

$q \geq 2$ 는 소수라 가정하자.

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$ , $q \geq 3$ , $q \equiv 3 \pmod{4}$ 인 경우

d_K=-q , $(\mathbb Z/q \mathbb Z)^{*}$

$\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)$

$\chi(-1)=-1$ , $\tau(\chi)=i\sqrt{q}$

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})$ , $q \geq 5$ , $q \equiv 1 \pmod{4}$ 인 경우

d_K=q , $(\mathbb Z/q \mathbb Z)^{*}$

$\chi(a)=\left(\frac{a}{q}\right)$

$\chi(-1)=1$ , $\tau(\chi)=\sqrt{q}$

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-q})$ , $q \geq 1$ , $q \equiv 1 \pmod{4}$ 인 경우

d_K=-4q , $(\mathbb Z/4q \mathbb Z)^{*}$

$n\in \mathbb{Z}$ , (n,4q)=1 에 대해서는

$\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)$

$\chi(-1)=-1$ , $\tau(\chi)=2i\sqrt{q}$

$K=\mathbb{Q}(\sqrt{q})$ , $q \geq 3$ , $q \equiv 3 \pmod{4}$ 인 경우

d_K=4q , $(\mathbb Z/4q \mathbb Z)^{*}$

일반적인 $n\in \mathbb{Z}$ , (n,4q)=1 에 대해서는

$\chi(n)=(-1)^{\frac{n-1}{2}}\left(\frac{n}{q}\right)$

$\chi(-1)=1$ , $\tau(\chi)=2\sqrt{q}$

정17각형의 작도 문제의 해결 과정에서 나타나는 가우스합

$\zeta=e^{2\pi i \over 17}$ 로 두자. 이 값을 대수적으로 구하는 것이 목표.
$(3^1, 3^2,3^3, 3^4, 3^5, 3^7, 3^8, 3^9, 3^{10}, 3^{11}, 3^{12}, 3^{13}, 3^{14}, 3^{15}, 3^{16}) \equiv (3, 9, 10, 13, 5, 15, 11, 16, 14, 8, 7, 4,12, 2, 6, 1) \pmod {17}$
이 순서대로 2로 나눈 나머지에 따라서 분류
- $A_0 = \zeta^{9} + \zeta^{13} + \zeta^{15} + \zeta^{16}+\zeta^{8} + \zeta^{4} + \zeta^{2} +\zeta^{1}$
- $A_1 = \zeta^3 + \zeta^{10} + \zeta^{5} + \zeta^{11}+\zeta^{14} + \zeta^{7} + \zeta^{12} +\zeta^{6}$
- 임은 쉽게 알 수 있음
- 는 가우스합이므로 $A_0-A_1=\sqrt{17}$
- $A_0 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2}$ , $A_1= \frac{-1 - \sqrt{17}}{2}$