각의 삼등분(3등분, The trisection of an angle)

작도문제와 구적가능성 에 서술된 바와 같이, 작도가 가능한 수는 유리수체로부터 시작하여, 그 원소들의 제곱근을 추가하여 얻어지는 체확장을 반복해서 만들어진 체에 들어 있다.
거듭제곱근 체확장(radical extension)의 개념이 중요

만약 3등분 가능하지 않은 각을 제시할 수 있으면 증명이 끝난다.

먼저 유리수체로부터 시작하여, 그 원소들의 제곱근을 통해 얻어지는 체확장을 반복해서 얻어지는 모든 수가 이루는 체를 $\mathbb K$ 라 하자.

주어진 각 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 를 3등분하는 경우에 대하여 생각해 보자. 먼저 이 각도는 정삼각형의 한 각의 크기와 같으므로, 자와 컴파스로 작도가능하다.

여기서는 각도 $\alpha = \frac{\theta}{3}$ 는 작도가능하지 않음을 보이자. 즉, $\cos \alpha$ 가 $\mathbb K$ 안에 들어있지 않음을 보이면 된다.

$\cos \theta = \frac{1}{2}$ 와 코사인이 만족시키는 공식 $\cos(3\alpha) = 4\cos^{3}(\alpha) - 3\cos(\alpha)$ 을 활용하면, $\cos \alpha$

$y=\cos \alpha$ 는 유리계수다항식 $1/2 = 4y^{3} - 3y$ 즉, $(2y)^{3} - 3(2y) - 1 = 0$ 을 만족시킨다.

x = 2y 로 두면, $x^{3} - 3x - 1 = 0$ 가 만족된다.

한편 $x^{3} - 3x - 1 = 0$ 는 유리수체 위에서 인수를 갖지 않는 기약다항식이다.

따라서 는 $\mathbb K$ 안에 있을 수 없고, 도 마찬가지이다.

그러므로 각도 $\theta=\frac{\pi}{3}$ 는 자와 컴파스로 삼등분할 수 없다.

3등분의 불가능이 증명되었음에도, 해법을 찾는 사람들이 많다. 이들을 angle trisector 라고 부른다.
이러한 주장에 현혹되는 것은 큰 망신을 살 수 있는 행위가 되므로, 주의를 요함.
네이버 사고 치다
- Pomp On Math & Puzzle, 2009-4-27
각의 3등분의 정리
- 함보현 기자, 연합뉴스, 2004-04-03
- 임의의 각 3등분 문제는 프랑스의 수학자 완첼(1814-1848)에 의해 작도 불가능이 증명됐다고 알려져 왔다.
  각의 3등분의 정리」(김휘암 지음)는 이러한 통념을 뒤엎고 특정한 각에 대한 3등분이 가능함을 증명한 책이다.
- 이러한 기사를 쓰는 경우, 기자로서의 자질을 의심받을 수도 있다.