오일러상수, 감마

이 항목의 스프링노트 원문주소

오일러상수, 감마

개요

조화수열과 조화급수

정의

다음과 같은 극한으로 정의된다

$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\ln n=$

$\gamma=0.577215664901532860606512090\cdots$

적분표현

$\gamma=-\int_{0}^{\infty}e^{-t}\log t\,dt$

(증명)

아래의 $\Gamma'(1)=-\gamma$ 참조. ■

오일러 상수가 등장하는 곳

리만제타함수의 s=1에서의 로랑급수

$\zeta(s)=\frac{1}{s-1}+\gamma+O((s-1))$
감마함수와 다이감마 함수(digamma function)

$\psi(x) =\frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$

$\psi(1) = -\gamma\,\!$

$\Gamma'(1)=-\gamma$
Epstein 제타함수와 크로네커 극한 공식

$E(\tau,s) = {\pi\over s-1} + 2\pi(\gamma-\log(2)-\log(\sqrt{y}|\eta(\tau)|^2)) +O(s-1)$

오일러-맥클로린 공식을 이용하여 값 구하기

오일러-맥클로린 공식은 다음과 같이 주어진다

$\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R$

$f(x)=\frac{1}{x}$ 에 대하여 적용해보자.

$\int f(x)\,dx=\ln x$ , $f(x)=\frac{1}{x}$ , $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ , $f^{(2)}(x)=\frac{2}{x^3}$ , $f^{(3)}(x)=-\frac{6}{x^4}$ , $f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{(k-1)!}{x^{k}}$

$\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}\frac{B_k}{k}(\frac{1}{n^{k}}-1)$

$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\ln n = -\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-1)-\frac{1}{12}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{120}(\frac{1}{n^4}-1)+\frac{1}{252}(\frac{1}{n^6}-1)-\frac{1}{240}(\frac{1}{n^8}-1) \cdots$

여기서 오일러라면(?) 다음식이 참이라고 가정 (사실은 발산하는 급수)

$\frac{1}{2}+\frac{1}{12}+\frac{1}{120}-\frac{1}{252}+\frac{1}{240}+\cdots=\gamma$

그 다음, n=10 인 경우에 다음식을 계산하면,

$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k}-\ln n +\frac{1}{2n}+}\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\frac{1}{252^6}+\frac{1}{240n^8}$

$0.5772156649008\cdots=0.5263831609742\cdots+0.05083250392659\cdots$

참고로 $\gamma=0.5772156649015\cdots$

재미있는 사실

$\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$ 은 발산하지만 이것과 $\ln n$ 과의 차는 수렴.

메모

관련된 항목들

사전 참고자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러상수
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Mascheroni_constant
http://en.wikipedia.org/wiki/

매스매티카 파일 및 계산 리소스

매스매티카 파일 목록