ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)

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오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)

개요

제타 함수의 정수에서의 값을 구하는 것은 수학적으로 흥미로운 문제
다음은 오일러가 처음으로 계산해 내어 매우 유명한 결과로 수학의 아름다운 정리 중 하나로 꼽힘.

$\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}$

$\frac{\pi^2}{6}=1.6449340668482264365\cdots$

푸리에 급수를 이용한 증명

푸리에 급수 항목 참조

(증명)

f(x)=x^2 , $-\pi < x < \pi$

$f(x)\sim \frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2} \cos(nx)$

$x=\pi$ 에서 양변을 계산하면,

$\pi^2=\frac{\pi^2}{3}+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ . ■

복소함수론의 유수정리를 이용하는 증명

정수에서의 리만제타함수의 값 에서 소개된 방법

(증명)

$\oint_{C_{R}}\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{2}}dz$

$C_{R}$ 는 원점을 중심으로 반지금이 인 원

이때 이 커지면, 적분은 0으로 수렴한다.

유수정리를 사용하자.

0이 아닌 정수 에 대하여 $z\approx k$ 이면, $\pi \cot \pi z \approx \frac{1}{z-k}$

한편 $\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{2}}$ 의 0이 아닌 정수 에서의 유수(residue)는 $\frac{1}{k^{2}}$ 로 주어진다.

$\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}$ (코탄젠트 참조)

를 이용하면 $\frac{\pi\cot(\pi z)}{z^{2}}$ 의 0 에서의 유수는 $-\pi^{2}/3$ 임을 알 수 있다.

그러므로 모든 유수의 합은

$-\frac{\pi^2}{3}+2\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=0$

따라서

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$ . ■

이중적분을 통한 증명

다음과 같은 이중적분을 구해서, 바젤문제를 해결하는 방법

$\zeta (2)=\frac{4}{3} \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy$
- 이중적분과 바젤문제

오일러의 방법

사인함수에 대하여 근과계수의 관계를 적용

오일러-맥클로린 공식을 활용한 오일러의 수치계산

오일러-맥클로린 공식 을 활용하여, 위의 값을 확인해보자.

$\sum_{i=0}^{n-1} f(i) = \sum_{k=0}^p\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R$

$f(x)=\frac{1}{x^2}$ 에 대해 적용함.

$\int f(x)\,dx=-\frac{1}{x}$ , $f(x)=\frac{1}{x^2}$ , $f'(x)=-\frac{2}{x^3}$ , $f^{(2)}(x)=\frac{6}{x^4}$ , $f^{(3)}(x)=-\frac{24}{x^5}$ , $f^{(k-1)}(x)=(-1)^{k-1}\frac{k!}{x^{k+1}}$

$\frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(1)\right) =(-1)^{k-1}B_k(\frac{1}{n^{k+1}}-1)$

$\sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{k^2} = -(\frac{1}{n}-1) -\frac{1}{2}(\frac{1}{n^2}-1)-\frac{1}{6}(\frac{1}{n^3}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^5}-1)-\frac{1}{42}(\frac{1}{n^7}-1)+\frac{1}{30}(\frac{1}{n^9}-1) \cdots$