다이로그 함수(dilogarithm)

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Dilogarithm 함수

개요

폴리로그 함수(poylogarithm)의 하나인 special 함수이다.
오일러, 로바체프스키, 아벨 등에 의하여 연구되었다.
정수론, 대수적 K-이론, 3차원 쌍곡다양체, 등각장론 등 현대수학의 많은 분야에서 중요한 역할을 한다.
Pochhammer 기호 $(q)_{n} =(q;q)_{n}=(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)$ 의 근사식을 구하는 과정에서 자연스럽게 등장한다.
모든 다이로그 항등식 (dilogarithm identities)을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다

정의

다이로그 함수는 복소수 에 대하여 다음과 같이 정의됨

$\operatorname{Li}_2(z)= \sum_{n=1}^\infty {z^n \over n^2}$

$|z|\leq 1$ 에서 고르게 수렴하는 급수이므로, $|z|\leq 1$ 에서 연속
다음과 같은 적분으로 정의하면 해석적으로 확장가능

$\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt$ for $z\in \mathbb C-[1,\infty)$

함수의 그래프

단위원에서의 실수부와 허수부

$z=e^{i\theta}$ , $0 \leq \theta \leq 2\pi$ 일 때,

$\operatorname{Li}_2(e^{i\theta})= \sum_{n=1}^\infty \frac{e^{in\theta}}{n^2}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}+i\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}$

$\mathfrak{R}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\theta(2\pi-\theta)}{4}$

$\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}=Cl_2(\theta)$
로바체프스키와 클라우센 함수 항목 참조

여러가지 항등식

오일러의 반사공식

$\mbox{Li}_2 \left(x \right)+\mbox{Li}_2 \left(1-x \right)= \frac{\pi^2}{6}-\ln(x)\ln(1-x)$ , 0<x<1

반전공식

$\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1}{x} \right) = -\frac{\pi^2}{6}-\frac{1}{2}\log^2(-x)$
란덴의 항등식

$\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{-x}{1-x} \right)=-\frac{1}{2}\log^2(1-x)$ 또는

$\mbox{Li}_2(1-x)+\mbox{Li}_2 \left(1- \frac{1}{x} \right)=-\frac{1}{2}\log^2(x)$

여기에서 다음의 함수들은 초등함수 부분을 무시하면 같다는 것을 알 수 있음

$\mbox{Li}_2(x)$ , $\mbox{Li}_2 \left(\frac{1}{1-x}\right)$ , $\mbox{Li}_2 \left(1- \frac{1}{x} \right)$ , $-\mbox{Li}_2 \left( \frac{1}{x} \right)$ , $-\mbox{Li}_2 \left(1-x \right)$ , $-\mbox{Li}_2 \left( \frac{x}{x-1} \right)$
사영기하학과 교차비, Bloch-Wigner dilogarithm 항목들을 참조

곱셈공식

제곱공식

$\mbox{Li}_2(x^2)=2(\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x))$

$\frac{1}{2}\mbox{Li}_2(x^2)=\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(-x)$
일반적인 곱셈공식

$\frac{1}{n} \operatorname{Li}_2(z^n) = \sum_{k=0}^{n-1}\operatorname{Li}_2\left(e^{2\pi i k/n}z\right)$
실수부와 허수부에 대한 덧셈공식

$f(\theta)=\mathfrak{R}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos n\theta}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}-\frac{\theta(2\pi-\theta)}{4}$

$Cl_2(\theta)=\mathfrak{I}(\operatorname{Li}_2(e^{i\theta}))=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin n\theta}{n^2}$

다음 덧셈공식을 만족시킴

$f(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}f(\theta+\frac{2k\pi}{n})$

$Cl_2(n\theta)=n\sum_{k=0}^{n-1}Cl_2(\theta+\frac{2k\pi}{n})$

로바체프스키와 클라우센 함수의 덧셈공식 참조

5항 관계식 (5-term relation)

5항 관계식은 다이로그 함수의 가장 중요한 항등식의 하나이다.

$\mbox{Li}_2(x)+\mbox{Li}_2(y)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-x}{1-xy} \right)+\mbox{Li}_2(1-xy)+\mbox{Li}_2 \left( \frac{1-y}{1-xy} \right)=\frac{\pi^2}{2}-\log(x)\log(1-x)-\log(y)\log(1-y)+\log (\frac{1-x}{1-xy})\log (\frac{1-y}{1-xy})$
5항 관계식 (5-term relation) 항목 참조

Special values

다음 여덟 경우만이 알려져 있으며, 이것이 모든 가능한 경우라고 추측된다

$\mbox{Li}_{2}(0)=0$

$\mbox{Li}_{2}(1)=\frac{\pi^2}{6}$

$\mbox{Li}_{2}(-1)=-\frac{\pi^2}{12}$

$\mbox{Li}_{2}(\frac{1}{2})=\frac{\pi^2}{12}-\frac{1}{2}\log^2(2)$

$\mbox{Li}_{2}(\frac{3-\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{15}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})$

$\mbox{Li}_{2}(\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=\frac{\pi^2}{10}-\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})$

$\mbox{Li}_{2}(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{15}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})$

$\mbox{Li}_{2}(\frac{-1-\sqrt{5}}{2})=-\frac{\pi^2}{10}+\frac{1}{2}\log^2(\frac{1+\sqrt{5}}{2})$

구체적인 계산은 다이로그 함수의 special value 계산 항목 참조
황금비

다이로그 항등식

다이로그 함수를 약간 변형한 로저스 다이로그 함수 (Roger's dilogarithm)

$L(x)=\operatorname{Li}_2(x)+\frac{1}{2}\log x\log (1-x)=-\frac{1}{2}\int_{0}^{x}\frac{\log(1-y)}{y}+\frac{\log(1-y)}{1-y}dy$
대수적수 와 유리수 에 대한 다음과 같은 형태의 항등식을 다이로그 항등식이라 한다

$\sum_{i=1}^{N}L(x_i)=cL(1)$
모든 다이로그 항등식을 5항 관계식을 통하여 이해할 수 있는지의 여부는 다이로그 함수에 대한 중요한 미해결 문제이다
다이로그 항등식 (dilogarithm identities) 항목 참조

Pochhammer 기호와의 관계

Pochhammer 기호

$(q)_{n} : =(q;q)_{n}=(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)$
로그를 취한뒤 적분을 통해 근사하면 다음을 얻는다

$\int_{0}^{n}\log (1-q^{t})\,dt=\frac{1}{\log q}\int_{1}^{q^{n}}\log (1-x)\,\frac{dx}{x}=\frac{1}{\log q}(-\operatorname{Li}_{2}(1)+\operatorname{Li}_{2}(q^{n}))$

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다이로그 함수(dilogarithm)

재미있는 사실

Don Zagier

The dilogarithm is the only mathematical function with a sense of humor.

역사

수학용어번역

제안용어
- 다이로그, 쌍로그, 이중로그 ??
http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=di
대한수학회 수학 학술 용어집
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=di&page=5
- http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=dilogarithm
대한수학회 수학용어한글화 게시판

사전 형태의 자료

http://en.wikipedia.org/wiki/Polylogarithm
http://en.wikipedia.org/wiki/Dilogarithm
http://en.wikipedia.org/wiki/Multiplication_theorem
M. Abramowitz and I. A. Stegun. Handbook of mathematical functions.
- http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_1004.htm

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