산술기하조화평균과 부등식

개요

 

 

 

두 수의 산술기하조화평균

 

 

 

일반적인 정의

A(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{n}(x_1 + \cdots + x_n)

H(x_1, \ldots, x_n) = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \cdots + \frac{1}{x_n}}

 

산술-기하-조화평균 부등식

A(x_1,\ldots,x_n) \geq G(x_1,\ldots,x_n) \geq H(x_1,\ldots,x_n)

 

산술 - 기하 - 조화평균 부등식의 증명

먼저, 산술 - 기하 평균 부등식 부터 증명하도록 하겠다. 이 증명에서는 수학적 귀납법이 사용된다.

a_1 a_2 a_3 ... a_n \in R_o ^ +   인 a_1 a_2 a_3 ... a_n 들에 대해 아래의 식이 성립함을 보이자.

 

\frac{a_1 + a_2 +\hdots + a_n}{n} \ge \sqrt[n]{a_1\hdots a_{n-1}a_n}

 

 

 

n=2인 경우 부등식의 그림표현

File:MathematicalMeans.svg

A=\frac{a+b}{2}

G=\sqrt{ab}

H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}

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