타자의 타율과 연분수

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개요

타자 타율이 0.334면, 타자는 최소 몇 타수가 필요한가?

 

 

287타석을 얻는 법

 

286타수 이하에서는 불가능함을 보이기

자연수 q 와 p<287 에 대해서, 다음 부등식을 만족시킴을 보이면 된다.

|\frac{q}{p}-0.334|>0.0005

(증명)

3\leq p<287 인 경우에,

 |{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}

 |{q}-\frac{p}{3}-\frac{334p}{1000}+\frac{p}{3}|>\frac{p}{2000}

 |{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|>\frac{p}{2000}

임을 보이면 된다.

|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|

의 최소값에 대하여 생각해 보자.

p=3k 꼴인 경우, k=1,2,\cdots,95 가 가능.

|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{2}{1000}k|\geq\frac{2k}{1000}>\frac{3k}{2000}%3D\frac{p}{2000}

p=3k+1 꼴인 경우, k=1,2,\cdots,95 가 가능.

|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k-\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}-\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}+\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}+\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}

p=3k-1 꼴인 경우, k=1,2,\cdots,95 가 가능.

|{q}-\frac{p}{3}-\frac{2p}{3000}|=|{q}-k+\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}|\geq\frac{1}{3}-\frac{2k}{1000}+\frac{2}{3000}>\frac{3k}{2000}-\frac{1}{2000}=\frac{p}{2000}

그러므로 3\leq p<287 인 경우, 모든 자연수 q 에 대하여 다음 부등식은 참이다.

 |{q}-\frac{334p}{1000}|>\frac{p}{2000}

 

 

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