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연분수와 유리수 근사

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연분수

연분수

$\frac{1+\sqrt5}{2}=1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}$

$\frac{-1+\sqrt5}{2}=\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}$

$-1+\sqrt{2}=\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}$

연분수와 유리수 근사

무리수 $\alpha$ 에 대하여, 유리수 가 아래의 부등식을 만족시키는 경우, 는 무리수 $\alpha$ 의 단순연분수 전개의 convergents 중의 하나이다

$|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{2{q^2}}$

유리수 근사와 황금비(i)

(후르비츠의 정리)

무리수 $\alpha$ 에 대하여, 부등식

$|\frac{p}{q}-\alpha|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}$

는 무한히 많은 유리수 p/q 에 의하여 만족된다. 하지만 여기서 $\sqrt{5}$ 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.

무리수와 디오판투스 근사

유리수 근사와 황금비(ii)

후르비츠의 정리에서 $\sqrt{5}$ 의 위치에 그보다 작은 수(예를 들자면 2)가 있어도 정리는 참이지만, $\sqrt{5}$ 보다 큰 수는 불가능하다.

임의의 0<h<1 에 대하여

$|\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}|<\frac{h}{\sqrt{5}{q^2}}$

가 유한히 많은 유리수 p/q 에 의해서만 만족됨을 보이면 충분하다.

(증명)

위의 부등식이 만족되는 경우, 적당한 $|\theta|<h<1$ 에 대하여, 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}$

$\frac{p}{q}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}$

$5q^2\{(p^2-pq-q^2)-\theta\}=\theta^2$

$(p^2-pq-q^2)-\theta$ 는 양수이고, 정수 는 0이 될 수 없으므로, $p^2-pq-q^2\geq1$

따라서,

$q^2=\frac{\theta^2}{5\{(p^2-pq-q^2)-\theta\}}<\frac{h^2}{5(1-h)}$

그러므로, 주어진 부등식은 유한히 많은 에 대해서만 참이다. 또한 각각의 에 대하여, 오직 유한히 많은 만이 부등식을 만족시킨다.■

연분수의 재미있는 응용

질문과 답변

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http://en.wikipedia.org/wiki/continued_fraction
http://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet's_theorem_on_diophantine_approximation
http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss%27s_continued_fraction
http://mathworld.wolfram.com/ContinuedFractionConstant.html
http://viswiki.com/en/
http://front.math.ucdavis.edu/search?a=&t=&c=&n=40&s=Listings&q=
http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg4=AUCN&s4=&co4=AND&pg5=TI&s5=&co5=AND&pg6=PC&s6=&co6=AND&pg7=ALLF&co7=AND&Submit=Search&dr=all&yrop=eq&arg3=&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&pg8=ET&s8=All&s7=
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관련논문

Solving the Pell Equation
- Lenstra, Noitces of AMS, Volume 49, Number 2
Fractions
- L. R. Ford, The American Mathematical Monthly, Vol. 45, No. 9 (Nov., 1938), pp. 586-601

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