연분수와 유리수 근사

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연분수

\frac{1+\sqrt5}{2}=1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}

\frac{-1+\sqrt5}{2}=\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}

-1+\sqrt{2}=\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}

 

 

연분수와 유리수 근사

|\alpha-\frac{p}{q}|<\frac{1}{2{q^2}}

 

 

유리수 근사와 황금비(i)

|\frac{p}{q}-\alpha|<\frac{1}{\sqrt{5}{q^2}}

는 무한히 많은 유리수p/q 에 의하여 만족된다. 하지만 여기서 \sqrt{5} 는 더 큰 수로 대체될 수 없다.

 

 

유리수 근사와 황금비(ii)

후르비츠의 정리에서 \sqrt{5} 의 위치에 그보다 작은 수(예를 들자면 2)가 있어도 정리는 참이지만, \sqrt{5} 보다 큰 수는 불가능하다.

임의의 0<h<1 에 대하여

|\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}|<\frac{h}{\sqrt{5}{q^2}}

가 유한히 많은 유리수p/q에 의해서만 만족됨을 보이면 충분하다.

 

(증명)

위의 부등식이 만족되는 경우, 적당한 |\theta|<h<1에 대하여, 다음과 같이 쓸 수 있다.

\frac{p}{q}-\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}

 

\frac{p}{q}-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}+\frac{\theta}{\sqrt{5}{q^2}}

 

5q^2\{(p^2-pq-q^2)-\theta\}=\theta^2

 

(p^2-pq-q^2)-\theta 는 양수이고, 정수 p^2-pq-q^2는 0이 될 수 없으므로, p^2-pq-q^2\geq1

따라서,

q^2=\frac{\theta^2}{5\{(p^2-pq-q^2)-\theta\}}<\frac{h^2}{5(1-h)}

그러므로, 주어진 부등식은 유한히 많은 q 에 대해서만 참이다. 또한 각각의 q에 대하여, 오직 유한히 많은 p 만이 부등식을 만족시킨다.■

 

 

 

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