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린데만-바이어슈트라스 정리

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린데만-바이어슈트라스 정리

개요

린데만-바이어슈트라스 정리

서로 다른 대수적수 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 에 대하여, $e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}$ 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.

또는

대수적 수 $\alpha_1,\cdots,\alpha_n$ 가 유리수체 위에서 선형독립이면, $e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n}$ 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 $\mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})$ 의 transcendence degree가 n이다.

지수함수와 초월수

0이 아닌 대수적수 $\alpha$ 에 대하여, $e^{\alpha}$ 는 초월수이다.

(증명)

$\alpha$ 가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면 린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 $\{e^0, e^{\alpha}\}$ 는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서 $e^{\alpha}$ 는 초월수이다. ■

지수함수의 실수부와 허수부

실수가 아닌 대수적수 $\alpha$ 에 대하여, $\operatorname{Re}e^{\alpha}$ 와 $\operatorname{Im}e^{\alpha}$ 는 초월수이다.

(증명)

$\operatorname{Re}e^{\alpha}=\beta$ 가 대수적수라고 가정하자. $\beta$ 가 0이 아님은 쉽게 알 수 있다.

$\alpha=a+bi$ 라 하면, $2\beta=e^{a+bi}+e^{a-bi}$ 이다.

$e^{a+bi}+e^{a-bi}-2\beta e^0 =0$

이제 린데만-바이어슈트라스 정리를 적용하면 원하는 결론을 얻는다. ■

로그함수의 경우

지수함수의 경우로부터 다음을 얻는다.

0또는 1이 아닌 실수인 대수적수 $\alpha$ 에 대하여, $\log \alpha$ 는 초월수이다.

삼각함수의 경우

0이 아닌 대수적수 $\alpha$ 에 대하여, $\sin {\alpha}$ 는 초월수이다.

(증명)

$\{i\alpha},0 {-i\alpha}\}$ 는 서로 다른 대수적 수이므로, 린데만-바이어슈트라스 정리에 의하여

$\sin {\alpha} = \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}$

는 초월수이다. (증명끝)

마찬가지로 0이 아닌 대수적수 $\alpha$ 에 대하여, $\cos \alpha$ 는 초월수이다. ■

0이 아닌 대수적수 $\alpha$ 에 대하여 $\tan \alpha$ 는 초월수이다.

(증명)

$\beta= \tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}$

가 대수적수라고 가정하자.

$\beta= \tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}$

$\beta{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}= e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}$

$(1-i\beta){e^{i\alpha}-(1+i\beta)e^{-i\alpha}}=0$

이는 린데만-바이어슈트라스 정리에 모순. ■

$\pi$ 는 초월수이다

파이는 초월수이다 항목 참조

역사

수학사연표

관련된 다른 주제들

사전형태의 자료

http://ko.wikipedia.org/wiki/
http://en.wikipedia.org/wiki/Lindemann–Weierstrass_theorem
http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic_independence

관련도서 및 추천도서

도서내검색
- http://books.google.com/books?q=
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관련링크 및 웹페이지

Transcendental number theory
- Michael Filaseta, Lecture notes
- Lindemann's Theorem

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초월수,바이어슈트라스

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Last edited on 07/28/2010 15:21 by 피타고라스

Comments (1)

애기똥풀
π 는 초월수이다 로 가는 링크가 깨진 것 같아서 수정합니다.
08/15/2009 23:10

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