린데만-바이어슈트라스 정리

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개요

 

 

 

 

린데만-바이어슈트라스 정리

서로 다른 대수적수  \alpha_1,\cdots,\alpha_n 에 대하여, e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n} 는 대수적수체 위에서 선형독립이다.

또는

대수적 수 \alpha_1,\cdots,\alpha_n 가 유리수체 위에서 선형독립이면, e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n} 는 유리수체 위에서 대수적으로 독립이다. 즉, 유리수체의 확장체 \mathbb{Q}(e^{\alpha_1},\cdots,e^{\alpha_n})의 transcendence degree가 n이다.

 

 

 

지수함수와 초월수

0이 아닌 대수적수 \alpha 에 대하여, e^{\alpha} 는 초월수이다. 

(증명)

 \alpha가 0이 아닌 대수적수라고 하자. 그러면  린데만-바이어슈트라스 정리 에 의해 \{e^0, e^{\alpha}\}  는 대수적수체위에서 선형독립이다. 따라서e^{\alpha} 는 초월수이다. ■

 

 

지수함수의 실수부와 허수부

실수가 아닌 대수적수 \alpha 에 대하여, \operatorname{Re}e^{\alpha}와 \operatorname{Im}e^{\alpha}는 초월수이다.

(증명)

\operatorname{Re}e^{\alpha}=\beta가 대수적수라고 가정하자. \beta가 0이 아님은 쉽게 알 수 있다. 

\alpha=a+bi 라 하면, 2\beta=e^{a+bi}+e^{a-bi}이다.

e^{a+bi}+e^{a-bi}-2\beta e^0 =0

이제 린데만-바이어슈트라스 정리를 적용하면 원하는 결론을 얻는다.  ■

 

 

 

로그함수의 경우

지수함수의 경우로부터 다음을 얻는다.

0또는 1이 아닌 실수인 대수적수 \alpha 에 대하여, \log \alpha 는 초월수이다.

 

 

삼각함수의 경우

0이 아닌 대수적수 \alpha 에 대하여, \sin {\alpha}는 초월수이다.

(증명)

\{i\alpha},0 {-i\alpha}\} 는 서로 다른 대수적 수이므로, 린데만-바이어슈트라스 정리에 의하여

\sin {\alpha} = \frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{2i}

는 초월수이다.  (증명끝)

마찬가지로 0이 아닌 대수적수 \alpha 에 대하여, \cos \alpha는 초월수이다.  ■

 

0이 아닌 대수적수  \alpha에 대하여 \tan \alpha는 초월수이다.

(증명)

\beta= \tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}

가 대수적수라고 가정하자.

\beta= \tan \alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}

\beta{i(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha})}= e^{i\alpha}-e^{-i\alpha}}

(1-i\beta){e^{i\alpha}-(1+i\beta)e^{-i\alpha}}=0

이는 린데만-바이어슈트라스 정리에 모순.  ■

 

 

\pi 는 초월수이다

 

 

역사


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