자연상수 e

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개요

 

이자율을 통한 이해

수열에 친숙해지기 위하여 좀더 친숙한 상황을 하나 생각해 보자.

자연상수를 공부하기엔, 돈과 이자 얘기가 좋다. 복리로 주어지는 예금상품이 있다고 하자. 넣어둔 돈이 a이고, 단위기간 동안의 이자율이 r이라고 하면, 그 단위기간이 지났을 때, 돈은 a(1+r) 이 된다. 만약에 그 돈을 계속 넣어둔다면, 약속된 단위기간이 지날 때마다, 통장의 예금

a(1+r), a(1+r)^2, a(1+r)^3, \cdots, a(1+r)^n, \cdots

로 늘어나게 된다.

이제 자연상수를 공부하기 위하여, 넣어둔 돈은 1, 단위기간은 1년, 이자율은 100%라고 하자.(말하고 보니, 이데아의 세계…) 1년 뒤에는 돈이 2가 될 것이다. 그런데 이 상황을 약간 변형하여 이렇게 하면 어떨까. 단위기간은 1년의 절반인 6개월로 하는 대신, 이자를 6개월마다 50% 복리로 받는 것이다. 그렇다면 1년 후에, 통장에 들어 있게 되는 돈은 다음과 같다.

(1 + \frac{1}{2})^2 = 2.25

수익이 더 높아졌다!

만약에 단위기간을 1년의 3분의 1인, 4개월로 하고, 4개월마다 이자를 33.33% 씩 받는다면, 1년 후에 받게 되는 돈은 이렇게 될 것이다.

(1+\frac{1}{3})^3 = 2.3703704\cdots

수익이 더 높아졌다. 이자를 이런 식으로 받으면 수익은 언제나 더 높아지는 것일까? 즉, 만약 단위기간을 1년의 n분의 1로 하고, 이자를 n분의 1 비율의 복리로 받게 된다면, 1년후, 이 돈은 얼마가 되는 것일까. 이렇게 될 것이다.

(1 + \frac{1}{n})^n

이제 오늘 내가 할 것은, 바로 이 수열에 대한 것이다.

첫번째, 이자율은 아무리 잘게 쪼개도 200%는 안 된다.
두번째, 그렇지만 이자를 잘게 쪼개서 받을수록 수익률은 더 높다.

이 두가지 사실이 수학적으로 의미하는 사실은,

(1 + \frac{1}{n})^n

이라는 수열은, 유계인 단조증가 수열이라는 것이다. 따라서 지난번 “리만의 제타함수 (5) : 지수의 실수로의 확장“에서 언급한, 실수의 완비성에 의해, 이 수열은 수렴하게 된다. 이 때, 수열의 극한값을 e, 자연상수라고 부르는 것이다.

 

수열

 

(1 + \frac{1}{n})^n<3  의 증명

(1 + \frac{1}{n})^n 는 증가수열 및 자연상수의 정의.

 

 

수열의 수렴

e.gif

 

 

급수의 수렴

 

자연상수의 소수점 1000자리까지의 전개

 

 

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