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    수학이 알고싶은 중고대딩들을 위한 수학 노트

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체론(field theory)

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개요

  • 사칙연산을 할 수 있는 대수적 구조

  • 유리수, 실수, 복소수, 유한체, p-adic 체, function field 등

  • 5차방정식과 근의 공식을 이해하기 위한 기본적인 개념틀

 

 

 

체(field)의 정의

  • 체 <\mathbb{F}, +, \cdot, 0,1>

  • 집합 F와 더하기(+), 곱하기(·) 연산이 정의되어 있으며, 0과 1이라는 원소가 있어, 다음과 같은 조건을 만족시킴

    (\mathbb{F}, +)는 아벨군이며 0은 항등원이다. 즉 덧셈에 대한 아벨군을 이룬다.

    (\mathbb{F}^{*}, \cdot)는 아벨군이며 1은 항등원이다. 여기서 \mathbb{F}^{*}은 0을 제외한 원소들의 집합.

    더하기와 곱하기는 분배법칙을 만족시킨다. 즉, 모든 원소 a,b,c\in \mathbb{F}에 대하여 a \cdot (b+c) = (a \cdot b) + (a \cdot c) 이 성립한다.

 

 

체확장

  • 체 K가 체 F를 포함할 때, 즉 F\subset K일때, K를 F의 체확장이라 한다

 

 

순환체확장(cyclic extension)

 

 

거듭제곱근 체확장(radical extension)

 

 

 

다항식과 갈루아체확장

  • (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음

  • 유리수체 \mathbb{Q}에서 정의된 다항식 x^3-2=0

  • 해는 \sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2} 세 개가 존재

  • 유리수체 \mathbb{Q}에 \sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}를 집어넣으면 유리수체의 확장 K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2}) 를 얻음

  • 이 때, 체 K는 유리수체 \mathbb{Q}위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 [K : \mathbb{Q}]=6이 됨

 

 

역사

 

 

 

메모

 

 

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수학용어번역

 

 

사전 형태의 자료

 

 

 

관련논문

 

 

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